Diplomarbeit von Michael Schindler

18 1. Grundlagen
Glockenkurve zuordnen, diese Zuordnung aber nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit
geschieht, bilden sie eine unscharfe Partitionierung von M (Kloppenburg, 1996).
Je nach Varianz der Normalverteilungen ist diese Partition unterschiedlich scharf. In
Abbildung 9a ist eine sehr unscharfe Partitionierung mit großen Varianzen dargestellt,
die Einteilung in Abb. 9b dagegen ist schon fast eine scharfe Mengeneinteilung des
Merkmalsraumes.
Entwicklung nach lokalen Momenten
Die notwendigen Bedingungen für die Minimierung von E lauten für die Zentren, Kovarianzmatrizen
und Gewichte, die gemeinsam die Parameter des Modells bilden,
cr = � � � � �
P(r|x; ˆ θ) x ˆP(r|x; θ) , (1-13)
X
X
Σr = � P(r|x; ˆ θ) (x − cr)(x − cr) T� � � �
ˆP(r|x; θ) und (1-14)
X
X
ˆPr = � �
P(r|x; ˆ θ) . (1-15)
X
Sie definieren die optimale Approximation für p und wurden von Kloppenburg (1996)
als lokale Momentenentwicklung bezeichnet. Diesen Begriff möchte ich kurz erläutern.
Zunächst soll nur mit einer einzigen Normalverteilung geschätzt werden. Dann gilt
ˆP(r|x; θ) = 1, und die drei Gleichungen vereinfachen sich zu
c = � x �
, (1-16)
X
Σ = � (x − cr)(x − cr) T�
X = � xx T�
X − ccT , (1-17)
P = 1. (1-18)
Man sieht, dass c der Schwerpunkt der Verteilung und Σ die Kovarianzmatrix ist.
Beide sind globale Mittelwerte von Potenzen der betrachteten Zufallsgröße X. Solche
Mittelwerte von Potenzen – oder Erwartungswerte, falls die gesamte Verteilung zur
Verfügung steht – nennt man Momente von X (Bandelow, 1989),
�� ��
X m := E�X m� �
= p(x) x m i · · ·x m d dx, (1-19)
M
mit der Ordnung m. Man sieht, dass P das Moment nullter Ordnung und c dasjenige
erster Ordnung ist. Für Σ in (1-17) benötigen wir eine Erweiterung der Definiton auf
gemischte zentrierte Momente der Ordnung m=m1 + · · · + md,
�� �� ��d �
Xi := E X − E(X)i
(m1···md)
i=1
� mi
�
. (1-20)
Die verschiedenen Momente zweiter Ordnung bilden also die Einträge der Kovarianzmatrix
Σ. Ähnlich wie sich Funktionen in einer Taylorreihe nach Potenzen entwickeln
lassen, so gibt es auch für viele Verteilungsdichten p eine Entwicklung nach zentrierten
Momenten steigender Ordnung. Die Entwicklung bis zur zweiten Ordnung reicht aus,