Diplomarbeit von Michael Schindler

2.2 Analytische Behandlung von prototypischen Spezialfällen 65
Maximalwert ε = 1 dargestellt (obere Enden der Kuven). In (b) ist andersherum für
verschiedene ε die Lebensdauer im System bis zu ihrem Minimalwert TS = 1 variiert
worden. Eine Phasenübergangskurve, die sich über den ganzen dargestellten Bereich
log 10(τS) ∈(−2, 2) erstreckt, muss Eigenschaften beider Bilder in sich vereinen. Etwa
bei τS ≈ 1 bekommt sie dann Ausbuchtungen zu großen σ/σS-Werten. Dieser Effekt
muss als Korrektur durch die diskrete Natur der Lernregel in die Beschreibung des
Phasenübergangs aufgenommen werden. In Abbildung 32 ist dieser Effekt nicht mehr
sichtbar, weil dort ε mit 10 −2 klein genug ist.
2.2.3 Berücksichtigung unterschiedlicher Gewichte der Datenquellen
Das bisher diskutierte Modell war auf einfache Weise symmetrisch, weil die beiden
Punktquellen gleiches statistisches Gewicht und deshalb auch die gleiche Lebensdauer
hatten. Die nächstkompliziertere Beschreibung des Phasenübergangs sollte aber verschiedene
Zeitskalen berücksichtigen, denn erst dort kann untersucht werden, wie der
Lerner auf die Kombination mehrerer Zeitskalen im System reagiert.
Das einfachste System mit mehreren Zeitskalen besteht wieder aus zwei Punktquellen,
nur diesmal mit unterschiedlichen statistischen Gewichten PA und PB. Dies hat zur
Folge, dass man bei deterministischem Schalten zwei verschiedene Lebensdauern bekommt,
aber nur eine Periode. Es ist also nicht unmittelbar klar, ob man hier schon
von zwei Zeitskalen sprechen kann. Als typische Zeitskala TS wird die halbe Periode
verwendet.
Ähnliche Annahmen und Rechenschritte wie oben bei mittleren Werten für τS und wie
log 10 τS
3
2
1
0
−1
−2
−3
P A =0.1
0.2
(a)
−4
0 0.5 1 σ/σS
0.3
0.5
log 10 τS
2
1
0
−1
−2
(b)
0 0.5 1 σ/σS
Abbildung 34: Kritische Werte (τS, σ) für verschiede Gewichte PA =0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1. In (a) aus
analytischen Berechnungen, in (b) aus Simulationen der gleichen Systeme. Man sieht, dass hier die
Simulationsergebnisse nicht mit den erwarteten theoretischen übereinstimmen. Verwendet wurde hier
wieder ε=0.01 und ein sehr kleines Rauschen |R|=5 ·10 −4 Dieses einfache Modell aus zwei Zuständen
eignet sich demnach nicht, um die Effekte zu demonstrieren, die bei mehreren Zeitskalen auftreten.