Diplomarbeit von Michael Schindler

104 B. Einige einfache Modelle
berechnet wird. Dann löst x(t) := (1 − c(t))/(1 − c0) das Anfangswertproblem
x(0) = 1
d εx(t)
x(t) = −
dt 1 + exp �x(t) 2�
2˜�2
(B-16)
mit ˜σ := σ/(1 − c0). Abbildung 52 zeigt numerisch bestimmte Lösungen dieser Differentialgleichung
für verschiedene Werte von ˜σ und ε. Der Ansatz x(t) = exp(z(t))
führt auf die Differentialgleichung für z
d
ε
z(t) = −
dt 1 + exp �x(t) 2�
, (B-17)
die sich durch Variablentrennung und Integration formal lösen lässt,
2˜�2
dt = − 1
ε
�t
−εt = −ε dt
0
′ �z(t)
= z(t) − z(0) + e
z(0)
x2
2˜�2 dz
−εt = z(t) + 1
2 Ei
� 2z(t) e
2˜σ 2
�
− 1
2 Ei
�
1
2˜σ 2
e�
�
. (B-19)
�x
∞� x
Ei(x) := dξ = γ + ln x +
ξ k
, x > 0, (B-20)
k · k!
(1 + e x2
2˜�2 ) dz, (B-18)
Ei ist das uneigentliche Exponentialintegral (vgl. Formeln 5.1.2 und 5.1.11 in Abramowitz
& Stegun, 1972)
−
−∞
womit man folgenden Zusammenhang zwischen verstrichener Zeit t und Ort z bekommt,
εt = −2z(t) + 1
∞� (2˜σ
2
2 ) −k
k · k! (1 − e2kz(t) ). (B-21)
k=1
Bis hier ist der Ausdruck vollkommen exakt. Alle Approximationen können von dieser
Gleichung ausgehen.
Wenn man nach der mittleren Anpassungszeit τL an die Daten fragt, dann ist
z(τL)=−1, und
2τL = εt(z=−1) = 2 + 1
∞� (2˜σ
2
2 ) −k
k · k! (1 − e−2k ). (B-22)
Wie man in Abbildung 52 sieht, findet die Anpassung bei großem ˜σ annähernd
exponentiell statt, während bei kleinem ˜σ fast der gesamte Weg praktisch zu einem
festen Zeitpunkt zurückgelegt wird. Im ersten Fall ist τL die exponentielle Relaxationszeit,
im zweiten Fall diejenige Zeit, während der fast der gesamte Übergang
vom Anfangswert zur Datenquelle stattfindet.
k=1
k=1