m i t Escherichia coli - Forschungszentrum Jülich

A.1.2 Datenauswertung
A.1 Fehlerbetrachtung
Für die grafische Darstellung der Daten wurde eine Ausgleichskurve durch die Datenreihen
gelegt. Dazu wurde ein Spline-Programm verwendet. Dieses Programm verwendet einen
nichtparametrischen kubischen Ausgleichsspline mit vorgegebener 2. Randableitung.
Die Splinefunktion zu den Messwerten (xi, ui), i = 0(1)n, n ≥ 2, mit monoton angeordneten
Knoten wird definiert wie folgt:
1. S ist in [a, b] zweimal stetig differenzierbar.
2. S ist in jedem Intervall [xi, xi+1], i = 0(1)n − 1, durch ein kubisches Polynom Si gegeben:
S(x) ≡ Si(x) = ai + bi(x − xi) + ci(x − xi) 2 + di(x − ci) 3
für x ∈ [xi, Xi+1, i = 0(1)n − 1.
3. S(xi) = yi, i = 0(1)n.
4. wi(u1 − yi) = ri, i = 0(1)n, wi > 0, wi = Gewichte. Es gilt:
r0 = S ′′′
0 (x0),
ri = S ′′′
i (xi) − S ′′′
i−1 (xi), i = 1(1)n − 1,
rn = −S ′′′
n−1 (xn)
5. Randbedingungen
S ′′ (x0) = α, S ′ (xn) = β
für α = β = 0 ergibt sich der natürliche Ausgleichsspline.
Mittels dieser Splinefunktion wird ein Polynom zwischen jeweils zwei Messpunkten
berechnet. An den Messpunkten müssen die Intervallgrenzen übereinstimmen, so dass sich
eine stetige Funktion ergibt.
In die Berechnung geht die Gewichtung wi ein. Für wi → ∞ ergibt sich die interpolierende
kubische Splinefunktion zu den Wertepaaren (xi, ui), für wi → 0 ergibt sich die
nach der Fehlerquadratmethode ausgleichende Gerade. Bei großen Werten wi verläuft
die Splinefunktion nahe an den Messwerten, bei kleinen Werten wi findet ein stärkerer
Ausgleich statt und die Kurve schneidet die Messpunkte nicht.
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