GrunDlaGen nungsvorschrift, nach der der neue Grauwert aus den Grauwerten der Umgebung berechnet wird. In diesem Beispiel sollen die Grauwerte innerhalb der Maske jeweils mit 1 multipliziert, dann <strong>auf</strong>summiert und schließlich durch 3 geteilt werden. Die Notation mit den eckigen Klammern ist also eine Kurzschreibweise für die Zuordnungsvorschrift: 1 g (x,y) = – [1 · g (x – 1, y) + 1 · g (x, y) + 1 · g (x + 1, y)] 3 mit der <strong>dem</strong> Pixel (x,y) im Ergebnisbild der mittlere Grauwert aus einer 1x3Umgebung des Pixels (x,y) im Quellbild zugeordnet wird. Der Faktor 1/3 führt dazu, dass bei der Filterung der Mittelwert erhalten bleibt: nach der Filterung ist der Mittelwert genauso groß wie vorher. Dieses Mittelwertfilter macht aus einer scharfen Kante parallel zur yAchse eine verschliffene Kante. Die Lage der Kante bleibt aber erhalten. Eine Kante parallel zur xAchse wird von <strong>dem</strong> Filter gar nicht beeinflusst. Dieses Filter ist also keineswegs isotrop, als Glättungsfilter ist es daher nicht gut geeignet – es sei denn, die selektive Glättungswirkung längs der x Achse ist bewusst gewünscht. Entsprechend gibt es das Mittelwertfilter, das nur parallel zur yAchse glättet. Die zweidimensionale Verallgemeinerung ist: 1 1 1 3 1 R = – 1 1 1 9 1 1 1 Dieses Mittelwertfilter mit einer 3x3 Filtermaske liefert eine wesentlich bessere Annäherung an die Isotropie als die beiden eindimensionalen Glättungsfilter. Es bewertet jedoch die Nachbarn in den Diagonalrichtungen genauso stark wie die Nachbarn in x und yRichtung, obwohl die Diagonalnachbarn weiter entfernt sind. Die Isotropie ist auch mit diesem Filter noch nicht optimal <strong>auf</strong> <strong>dem</strong> diskreten Bildraster realisiert. Die Mittelwertfilter haben einen weiteren gravierenden Nachteil. Strukturen werden durch diese Filter zunächst immer stärker geschwächt, je feiner sie werden. Dann wird bei einer bestimmten räumlichen Periode aus einer periodischen Struktur, also einem Gittermuster, eine vollständig homogene Fläche mit einheitlichem Grauwert. Wird die Struktur dann noch feiner, wird sie nach der Filterung wieder erkennbar, unter Umständen sogar mit umgekehrtem Kontrast, wenn auch stark geschwächt gegenüber <strong>dem</strong> Originalbild. Ein Beispiel zu diesem Verhalten, der sog. Kontrastumkehr, zeigt Abbildung 3. Oben ist das Quellbild dargestellt, darunter das Ergebnis der Filterung Abb. 3: Dasselbe Quellbild (oben), gefiltert jeweils mit einem Mittelwertfilter mit 3x3-, 7x7- und 13x13-Maske. Bei der 13x13-Maske tritt Kontrastumkehr <strong>auf</strong>, deutlich erkennbar im binarisierten Bild (unten). mit einer 3x3, einer 7x7 und schließlich einer 13x13Filtermaske. Zur Verdeutlichung ist für die 13x13Maske das Ergebnis der Filteroperation binarisiert worden. Bei dieser Maskengröße kehrt sich der Kontrast um, und aus den ursprünglich vorhandenen 10 werden neun Balken! Ein ideales Glättungsfilter sollte ein solches Verhalten nicht zeigen, sondern durchgängig feinere Strukturen stärker dämpfen als weniger feine Strukturen. Es kann für die nachfolgenden Bildverarbeitungsstufen sehr unangenehm sein, wenn Muster mit einer bestimmten räumlichen Periode von einem Filter völlig unterdrückt werden, etwas feinere Muster dann aber wieder sichtbar sind. Binomialfilter, Gaußfilter Die gewünschte Isotropie kann man erreichen, in<strong>dem</strong> die Gewichtsfaktoren in der Filtermaske eine rotationssymmetrische Verteilung um das zentrale Pixel nachbilden. Das unerfreuliche Dämpfungsverhalten des Mittelwertfilters hängt damit zusammen, dass die Mittelwertbildung mit einer Gewichtsfunktion realisiert wird, die zu den Rändern hin abrupt abbricht. Trägt man die Gewichtsfaktoren graphisch über der xyEbene <strong>auf</strong>, entsteht beim Mittelwertfilter ein Quader mit scharf abfallenden Seitenflächen. Ein ideales Filter müsste aber eine sanft zu den Rändern abfallende Gewichtsfunktion benutzen. Die genauere Betrachtung im Rahmen der Systemtheorie liefert das Resultat, dass eine rotationssymmetrische Gaußfunktion eine sehr gute Gewichtsfunktion für ein Glättungsfilter wäre [1], [2]. Auf der diskreten Ebene lässt sich eine Gaußfunktion niemals perfekt realisieren, sondern lediglich approximieren. Die diskrete Approximation der Gaußverteilung ist die Binomialverteilung. Diese Gruppe von Filtern wird daher als Binomialfilter oder auch als Gaußfilter bezeichnet. Eine einfache zweidimensionale Approximation eines Gaußfilters ist: 1 2 1 2 1 B = ––– 2 4 2 16 1 2 1 Schon dieses einfache Gaußfilter liefert für viele Aufgabenstellungen ausreichende Isotropie. Kanten werden durch das Gaußfilter verschliffen, ihre Lage bleibt jedoch erhalten. Das statistische Rauschen wird durch diese Filtergruppe erheblich reduziert, allerdings <strong>auf</strong> Kosten der Detail<strong>auf</strong>lösung. Die Filterkoeffizienten des Gaußfilters entsprechen den Werten einer diskreten Binomialverteilung, die für sehr große Masken in die Gaußverteilung übergehen würde. Solche Filter operationen sind sehr zeit<strong>auf</strong>wendig. Für die Maskengröße gibt es deshalb praktische, rechentechnisch bedingte Grenzen. Nachbemerkung Die hier behandelten Filter gehören zur Gruppe der linearen Filter, die auch oft als „diskrete Faltungen“ bezeichnet werden. Streng genommen wurden hier jedoch nicht Faltungen, sondern Korrelationen betrachtet. Der Unterschied ist erst bei asymmetrischen Masken erkennbar und auch dann für viele Anwendungen in der Praxis irrelevant. In diesem Artikel wurden nur symmetrische Masken benutzt. Schon bei Kantenfiltern sind die Masken jedoch nicht mehr symmetrisch. In der weiterführenden Behandlung der Filter unter systemtheoretischen Aspekten wird der Unterschied zwischen Faltung und Korrelation herausgearbeitet [1], [2]. Literatur: [1] B. Jähne, Digitale Bildverarbeitung, Springer <strong>Verlag</strong> [2] W. Burger, M. J. Burge, Digitale Bildverarbeitung, Springer<strong>Verlag</strong> 2005, S. 79 ff. � Autor Prof. Dr. Christoph Heckenkamp � Kontakt hochschule Darmstadt – university of applied Sciences Studiengang Optotechnik und Bildverarbeitung heckenkamp@h-da.de www.fbmn.h-da.de 42 In s p e c t 4/2008 www.inspect-online.com
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