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'~3 4: G E O M E T R f A.
Intersecciones del cono y del plano. Estas intersecciones
, llamadas esp ecialmente
.
secciones cónicas, cuan-
1 1 ,' do se hacen en un cono CIfcn al' ob lCUOo recto, son 1 ( e
la mayor impo~tancia para la ciencia y, las artes. Su estudio
solo constltuye como el de los tnangulos un ramo
~eparado y considerab~e de la geometría> y es, P?r decirIo
así, un intermedIO para pasar de la georneLna elemental
á la geon1.etría suhlime.
Yo no puedo hacer aqui otra cosa que indicar en muy
pocas palabfa~ la.s formas ~sen~iales de las secciones có-
nicas y sus pnncIpales aphca~lOnes. . . '
.
Determínanse las proyecclOnes honzontales y ver~I-
'
,
cales de la interseccion del cono con un plano, del nns-
:mo modo que se }Ü~o en el. cilindro, est? es, que ~e determina
la proyecclOn honzontal y verLIcal de la mterseccion
de este plano con cada arista del cono, de lo que
resulta en cada plano de proyeccion una curva, que es
la proyeccion buscada.
Tomemos el cono mas sencillo y mas regular, cual
es el COnorecto circular, fig. 12. Todas las secciones de
este cono con los planos paralelos de la base son circulas
como la base. Ya hemos esplicado las propiedades
del círculo y de su circunferencia (leccion tercera.)
1. o La elipse. Si se corta el cono con un plano PQ,
fier. 12, oblícuo al eje, y este plano encuentra á to~as
la~ aristas la seccion cónica producida así., es una ehp-
.se curva c~rrada por todas partes. He aqui las principales
propiedades de la elipse.
.
La elipse tiene un centro O, fig. 13, Y dos ejes AB,
CD, que se cruzan en ángulo ~'ecto. Toda línea SOT,
tirada por el centro O, Y termll1ada en el contor~o de
la elipse, está dividida por el centro en dos partes Iguales
J y es un diámetro que oivide la elipse en O?Sparles,
1111ade las cuales puede cubrir' exactamente a la otra"
volviendo el. diámetro al 'Otro lado.
Como cada unO de los dos ejes divide la elipse en
dos partes simétricas, ~o~a. perpendicul~r MPN á unO
de los ejes AB" queda dIYIdIda por este eje en dos par-
.
UéCION DÉCIMÁTERCIA. 135
tes iguales.PM J PN. Por consecuencia, si hacemos girar
la semi -ehpse A CB, sobre AB como charnela J todos los
!JUntos del contorno ACB se aplicarán inmediatamente
á los puntos del conton~o ADB. .' ,
Si el centro de la ehpse es tamhlCn el de un cIrcul(\:,
cuyo diámetro sea el eje AB, prolongando OD y PN hasta
d y n en el cír.culo, se tendr~ sien~pre laproporcion
OD: Od: : PN : Pn, que se venficara en todas las rectas
PNn paralelas al eje CODo Así la elipse puede considet'arse
en un sentido como un círculo aplanado proporcionalmente
el~ to~as sus partes. . .
Por el contrano, SIse traza el circulo CbD, fig. 13,
sobre el eje menor CD como diámetro, se tendrá la proporcion
siguiente para. toda línea recta ~gG perpendicular
al eje CD, termll1ada en g en el cIrculo, y en G
en la elipse, Ob: OB: :Fg: FG.
Resulta de esto que la elips_e puede considerarse en
un sentido como un círculo prolongado proporcionalmente
en todas sus partes. , . - .
Teniendo trazado un Circulo en un plano ll1chnado,
representado por la recta AB, fig. 14, se pide su 1'1'0yeccion
en un plano horizontal.
* Sea ab la proyeccion del diámetro AB, el ~ual sea
el mas inclinado de todos. Siendo o 'la proyecclOn del
centro O, si se tIra eod perpendicular á ab, y se hace
oe;= De = al rádio del círculo, la curva acbd que es
una elipse-, será la proyeccion de este .círculo. En ef~cto,
si tiramos ]a perpendicular cualqmera MN, al dIámetro
AB, del circulo trazado en el plano AB, la horizontal
MN estará en el plano del círculo, y por consecuencia
es igual á su proyeccion mn. Así las perpendiculares
estarán mas cercanas al eje mayor eod que las
perpendiculares MN lo estan al rádio CO, en la razon
de 01\1 á om. Luego la proyeccion del círculo no es otra
cosa mas que este círculo aplanado proporcionalmente
en todas sus partes, Ó bien una elipse; de donde podemos
inferir que *
Siempre que se proyecta zm círculo en un plano que