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58 LECCION CUARTA. 59
G E O M E '1' R f A. '
En virtud de las propiedades de las paralelas que
hemos dernostrado en la leccioll 2. a los ángulos opuestos
de un paralelogramo A y C por una parte, y D
Y B por otra, son iguales entre sí: dos son agudos, y
dos son obtusos: aaernas si se reune un ángulo agudo con
un ángulo obtuso la suma es igual á dos rectos.
* En efecto si prolongarnos en CE, fig. 34, el lado
DC, siendo paralelas las rectas AD, BC, el ángulo ADC
es igual á BCE,
+:., gulos rectos.
y DCB mas BCE será igual á dos án-
.
Pues que hemos probado (leccion
ralelas comprendidas entre paralelas
segunda) que las pa- '
son iguales, se sigÜe .
que los lados opuestos de un paralelo gramo son iguales;
entre sí: así AB es igual á CD, y AD es igual á BC. .
El punto O en que se encuentran las dos diagonales
es .elmedio de cada una de ellas: '
.
"
* En efeélosiendo AOC, DOB, fig. 34, las diago-,
nales, los triángulos ABO, DCO son iguales; pUf'S qÓe
1:oAB~DC;2.o el ángulo ODC=OBÁ; 3.0 el ángulo
OCD=OAB en virtud de las propiedades delas'
paralelas. Luego OB=OD y OA=OC. *
.
,
'
De las dos diagonales AG., DB, lig. '35, ,la mayor cAC
está opuesta á los mayores ángulos BD.
* En efecto tírense las líneas DE, CFperpendiculares
á los lados AB, GD. Estas perpendiculares serán igua-:
les; pero EB es menor que AF; luego la oblícua DB
es mas corta
Se llama
que la oblícua AG. *
losange un paralelogramo " ABCD, fig. 36,
.
qUe tiene sus cuatro lados iguales: Esta figura por su
regularidad tiene cierta gracia y se emple,a frecuentemente
en las artes de ornamento.
.
Cuando «os lado'? del paralelogramo forman un
ángulo recto tambienlo forman todos los .dernas.
* En efecto si el ángulo A ,fig. 37., por ejemplo es
recto en el paralelogramo ABCD, el lado ADes perpendicular.á
AB; lo mismo sucede con BC respecto á la AB.
Los dosár¡gulos
les D , C. "
A, B son rectos, y tambien sQn igua- .
Tal es la figura que se llama paralelooTamo rectáno'ulo
fiob ura 37, Ó ,solari1ente rectángulo , bá
,
fin de abre-
D'
1 d d .
vial'. En esta. figura as os ¡agonalcs AC, BD son
iguales.
.
* Para probarlo basta observar que los dos triángulos
rectángulos ADC, DAB son iguales. En efecto 1. o
el. ángulo recto D es igual al ángulo recto A; 2.,0 el
¡ado. AD es comun á los dos triángulos y por consecuencia
igual en los dos; 3. o el lado DC del ángulo D en
el primer triángulo es igual alIado AB del ángulo A
- en el segundo; luego el tercer lado AC de ADC es igual
.
al tercer ladoBD de DAB: luego AC, BD son las
dos diagonal es. *
. El cuadrado ABCD, fig. 38)
y sus cuatro ángulos iguales. .
tiene sus cuatro lados
.
Si hacemos un resumen de las propiedades de las
figuras de cuatro lados, presentaren10s la enumeracion
siguiel1~e 'que los j6venes
memorla.
artistas deben grabar en su.
"
En el cuadrado los cu~tro ángulos son iguales y reC:7
tos; los cuatro lados son Iguales entre sí, y las dosdiagonales
son iguales entre sÍ.
En el. rectángulo los cuatro ángulos son iguales y
rGctos; tienen dos lados mas largos iguales entre sí, dos
mas co~'tos iguales entre sÍ, y dos diagonalesiguales
entre SI. En el losange, los cuatro lados son io'uales
entre sí; dos ángulos obtusos son iguales entre si, dos
~ngulos agudos son iguales entre sí; por último las diagonales
son desiguales.
, En el paralel?gramo hay dos lados mayores y dos
augulos mayor~s Iguales; dos .lados menores y dos ángulos
menores Iguales. Las dIagonales son desiguales'
la mayor está opuesta á los mayores ángulos y la m¿
- nor á los menores ángulos.
Simetría
do una parte
de las figuras de cuatro lados. Aplican.:-
de estas figuras sobre la otra que es igual
á ell~ se probará que: 1. o el trapecio de ladosoblícuos
Iguales eS simétrico respecto de la recta EF que