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96 GEOMETRÍA.
* Sean dos triángulos AOB, aob, tales que suhase sea
igual {t la mitad de su altura i un cuadrado ABCD, abcd
hecho sobre su base como lado, tendd. igual superficie
que ellos. Si crecen ó menguan proporcionalmente las
alturas quedando la misma base, se irán formando
triáno'u]os semejantes XAB, xab, que conservando la
nÜsn~a base se aumentará ó disrninuirá su superficie en1a
misIna razono Luego estando primilivarnente representada
la razon de las superficies por los cuadrados ABCD,
abcd de las bases, lo estará en todos los casos. *
Todas las figuras semejantes pueden descomponerse
en un mismo nlÍlnero de triángulos semejantes que estan
entre sí como, los cuadrados de dos líneas correspondientes.
"Luego....
Las supefjicies de las figuras semejantes (terminadas
por líneas rectas) son entre sí como los cuadrados construidos
sobre dos Uneas corre~pondientes ú homólogas.
* Así siendo sen1.ejantes los dos polígonos ABCDEF A,
abcdifa, fig. 25) sus superficies serán como los cuadrados
ABMN) abmn formados sobre dos lados correspondientes
AB)" ab. ,
*
Del mismo modo se demuestra que los círculos) que
son figuras semejantes) tienen sus superficies proporcionales
á los cuadrados construidos sobre SltS radios
ó sobre sus diánzetros como lados.
El U,sode estas proporciones es frecuentemente muy
cómodo. La superficie de un círculo cuyo radio es igual
á la unidad 'uopuede espresarse ni aun aproximativamente
sino por números complicados si se quiere un
poco de exactitud. Pero las razones de las superficies
podrán darse con frecuencia con una estrema sencillez.
Vamos ahora á dar á conocer dos bellísimas propiedades
de la superficie de los polígonos regulares y de
los círculos; pero sin dar la demostracion) porque se
funda en métodos científicos menos elementales.
A igual contorno entre todas las figu1'as que tienen
un númer'o dado de lados, el polígono regular es el que
tiene la mayor superficie.
tECCION S'ESTA. 97
A igual contorno) cuantos mas lados hay en un
pOllgOlZOregular) tanto mayor es Slt superficie.
A igual contorno -' todas las figuras terminadas pOl'
un nÚmero cualquiera de lados, rectos ó curvos) tienen
menos Sllpcl:jicie que el circulo.
Aplicaciones. El conocimiento de estas propiedades
es importante eÚ la econornía de muchas artes.
Así la cantidad de plomo que se necesita emplear en
las vidrieras góticas de un espacio limitado es la menor
7Jósible, si los vidrios teniendo un número dado de lados
son de ,figura regular.
Así cuando hay que hacer tubos para la conducion
le aguas) de gases &c.) y que estos tubos hayan de
dejar un paso libre á un volumen de fluido deterl11.i-
[lado J si se hacen el¡'culares) la cantidad de madera ó
:le metal empleada en estos tubos es la menor posible.
En la arquitectura, dadas la altura y contorno de
lln edificio y por consecuencia la estension de sus paredes
esteriores, el espacioqlle se epuede encerrar con
:111amisma cantidad de fabrica es tanto mayor cuanto
mas se acerque el edificio á la forma de un polígono
regular, y de un polígono cuyo llúluero de lados Sea
mayor.
Consideremos la superficie indefinida del plano sobre
~l cual hemos trazado las diversas figuras de que aca-
)amos de determinar la medida. Cuando una recta tiene
los puntos en Ún plano está toda en dicho plano. Esta
propiedad sirve en las artes para construir superficies
planas) y para correr espacios planos.
AplicacÜm á la alfarería. Si se quiere) por ejemplo,
~omo en el arte del alfarero) terminar en superficie
)lana una masa de tierra cualquiera) se colocan los
;'uias paralelas ó un cuadro plano MNPQ, fig. 26; des.
mes con una regla recta ST) que se apoya á la vez eu
,as dos guias MN) PQ, se va adelante y se separa Ó
le comprime toda la tierra que sobresale mas que el
rlimo ql1e pasa por MN y PQ. No esiridispeusable que
~lcuadro MNPQfSté fOl'mado con rectas paralelas; hasta
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