download

84
se encuentren en
G E O 1'1E T 1t í A.
un punto 111, se tendní A C = em,
Cm = be (1),
ralelas.
como parDlelas comprendidas entre pa-
Pero siendo paralelas AC y em, Cm y be se tiene
AB : ab : : cm = AC : ac,
AB.: ab : : BC : Cm=be.
Luego, en:fin, AB: ab:: AC: ae:: BC: be.
S.i dos triángulos ABC, abe, :fig. 8, estan de tal
modo dispuestos y configurados que AB sea perpendicular
á ab, BC á be, AC á ae, digo que los dos triángulos
son semejantes
* En efecto, sin alterar nada al triángulo abe hagámosle
girar. la. cantidad de un ángulo recto alrededor
del punto a) entonces ae caerá en ae' en una posicioli
paralela á Ae; lo mismo sucederá respecto de ab' y
de b'C'. Luego el triángulo ab' e' tendrá sus lados paralelos
á los de ABC, y los dos triángulos .serán senlejan~es.
P.or consecuencia tambien ABC y ahe son semeJantes.
.
. Cuando dos triángulos tienen sus lados proporcio-
nales, 'sus ángulos correspondientes serán iguales, y los
triángulos son semejantes. Eu efecto, supongamos que
los d?s triángulos ABC, ab' e' fig. 7 "no tengan otras
relaclOnes que estas:
AB : a' b' : : Ae : a' e' : : BC : b'C'
Yo imagino otro triángulo abe que tenga el lado
ab= a'b' y ademas sus tres lados l'espectivamente paralelos
á AB, BC ,AC.
Entonces se tiél1e
AB : ab : : AC : ae : : BC : be.
Luego
(1)
a'e' =~ a'b' ... ac= ¡~ ab. :..
b"
BC BC
e = a 'b'b...
e = a b ...
AB AB
El signo = se lee igual á
LECCION QUINTA. 8:)
. I I
Lueo'o
.
SI
r I
a Ó = ab es necesano que a e = ae y
que
bl}'=be.
Lueo'o 10s dos triángulos
,
'
abc, a'b' e' tienen sus tres
lados r~spectivamente iguales y son por consecuencia
i ouales: luego los ángulos a' = a = A, b' = b b
= B"
cl=e=C.
Así cuando dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
solo pOI' esto los ángulos opuestos á los lados
proporcionales son iguales y los triángulos son semejantes.,
.
Cuando , dos trián!!ulos ABC. abe tienen los lados
t>
'
AB, AC proporcionalesá ab, ae y elángul~ A = a
los dos triángulos son semejantes; porquepomendo el
ángulo a sobre A', la proporcion AB : ab ; : AC : ac
exige que AC y ae sean paralelas; entonces los tres
lados son paralelos.
Si en la figura 6 se tiran desde el punto O tres
líneas rectas OPR, OQS, OTU, cortando las dos pa-
ralelas PTQ , RUS, se tendr..isucesivamente ácausa
de los triángulos semejantes.'
.
OPT,
OQT,
ORU;
OSU;
1.°
2.°
OT
OT
: OU
: OU
: : PT : RU_~
. . '
QT SU,
Luego en fin .PT': RU : : QT : SU.
Esto es decir que las partes PT, QT7 RU 7 SU
de dos paralelas cortadas por tres rectas que salen de
un mismo punto son proporcionales. La recíproca de
este principio es igualmente verdadera.
Al presente podemos eslender nueslras ideas y demostrar
que dos poligonos que tienen sus lados correspondientes
paralelos j prop°l'eiónales son semejantes.
* Sean las figuras ABCDEFGA, abcdefga, fig. 9,
que tengan sus lados correspondientes, proporcionales
y paralelos. Así
AB : ab : : BC : be : : In : 1.
.
Los ángulos correspondientes formados por líneas paralelas
dos á dos, serán iguales. Luego el ángulo b=B.
Tiremos las líneas AC, ae, los dos triángulos ABC, abc
/Serán semejantes porque tienen un ángulo B igual á b