Libro de Resúmenes / Book of Abstracts (Español/English)

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Resumenes 166 Dinámicas del modelo de depredación de Rosenzweig- McArthur considerando una forma aditiva para el efecto Allee Fulvia E. Torres-Bravo 1 y Eduardo González-Olivares 2 1 Facultad de Ciencias Básicas, Universidad del Quindio Carrera 15 Calle 12 Norte, Armenia, Quindio, Colombia fulvia_esperanza@uniquindio.edu.co 57 (6) 746 0441 Fax: 57 (6) 7460 228 2 Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Blanco Viel 596, Cerro Barón, Valparaíso, Chile ejgonzal@ucv.cl 56 (32) 27 4001 Fax: 56 (32) 27 4041 La dinámica de una población se relaciona con su desarrollo en el tiempo y en el espacio, y esta determinada por factores que actuan en el organismo, en la población y en el medio ambiente. El tamaño que la población alcanza en un momento determinado depende entre otros aspectos, de su tasa de natalidad, mortalidad, migración y algunas poblaciones dependen, además, de la densidad inicial para poder crecer y permanecer en el tiempo. En este trabajo analizamos un modelo de depredación determinista tiempo continuo del tipo Gause [FREED 1980], asumiendo que el crecimiento natural de las presas está afectado por el fenómeno llamado efecto Allee. En Dinámica Poblacional, cualquier mecanismo ecológico que permita establecer una relación positiva entre un componente medible de la adaptación (fitness) individual y el número o densidad de los conespecíficos es llamado un mecanismo de efecto Allee [KEN 03, STE 99], depensación [CLARK 90, DENN 89, LIER 01], o efecto de competencia negativa [WANG 99]. El efecto Allee es un importante e interesante fenómeno tanto en sentido matemático como ecológico. Desde un punto de vista ecológico, es una situación que se produce en bajas densidades poblacionales donde la tasa de crecimiento individual es una función creciente de la densidad (DENN 89], la cual aumenta sus posibilidades de extinción [COURC 99]; la importancia de este fenómeno ha sido enfatizado por los recientes desarrollos en algunos ámbitos de la ecologia y la conservación de especies pudiendo ser considerado como la base de la sociabilidad animal [STE 99]. Matemáticamente, los modelos más simples para este efecto pueden revelar bastante acerca de esta dinámica [STE 99], porque puede implicar la aparición de nuevos puntos de equilibrio que cambia la estabilidad estructural del sistema y ocurrir cambios en la estabilidad de otros puntos de equilibrio. Usualmente el efecto Allee se expresa modificando la función de crecimiento logístico de las presas por una función que incluye un nuevo factor x - m como se hace en [BRAUER 01, CLARK 90], quedando la función de crecimiento de las presas descritas por la ecuación. dx ⎛ x ⎞ = r⎜1 − ⎟( x − m)x dt ⎝ K ⎠ donde x = x(t) indica el tamaño de la población; en este trabajo esta forma la denominaremos efecto Allee multiplicativo. En [MEN 04] se analizan las consecuencias que implica esta forma del efecto Allee en el conocido modelo de Rosenzweig-McArthur [TURC 03],
Resumenes 167 obteniéndose que siempre existe una curva seperatriz que divide el comportamiento de las trayectorias de modo que si la relación presadepredador es pequeña implica la extinción de ambas poblaciones. En este trabajo se utiliza la alternativa propuesta en [STE 99, WANG 99] modificando la función de crecimiento logística mediante la agregación de un término de mortalidad adicional representando el efecto Allee, el cual nx ahora es descrito por la función A( x) = , la cual crece asintóticamente x + b con la densidad de las presas. En el libro de Thieme [THI 03] se hace una deducción matemática de esta forma que llamaremos efecto Allee aditivo. La interacción queda expresada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales del tipo Kolmogorov [FREED 1980]: dx ⎛ x n ⎞ qxy = rx⎜1− − ⎟− dt ⎝ K x + b ⎠ x + a dy ⎛ px ⎞ = ⎜ −c⎟y dt ⎝ x + a ⎠ donde x = x(t) y y = y(t) son los tamaños poblacionales de las presas y los depredadores, respectivamente, para t > 0 y los parámetros tienen diferentes significados biológicos. Se puede demostrar que ambas formas del efecto Allee son topológicamente equivalentes, pero estudiaremos si las consecuencias de la forma aditiva son similares a las de la forma multiplicativa. Se hace entonces un análisis cualitativo del modelo obtenido mediante la teoría de los sistemas dinámicos y obtenemos condiciones en los parámetros para establecer el diagrama de bifurcaciones determinando:la cantidad de los puntos de equilibrio en el primer cuadrante, la naturaleza de cada uno de ellos, la existencia de curvas separatrices, curvas homoclínicas o heteroclínicas, la cantidad de ciclos límites, etc. Dynamics of Rosenzweig-McArthur predation model considering an additive form for the Allee effect The dynamics of a population is its development in space and time; it is determined by factors that act in the organism, in the population and in the environment. The population size depend on their natality, mortality, migration and some depend besides the initial density to be able to grow and to remain in the time. In this work we analyze a Gause type predator-prey model [FREED 1980], assuming that the natural prey growth it is affected by the Allee effect. In Population Dynamics, any ecological mechanism that can establish a positive relationship between measurable component of individual fitness) and either the number or density of conspecifics can be called mechanism of Allee effect [KEN 03, STE 99] or depensation [CLARK 90, DENN 89, LIER 01], or negative competition effect [WANG 99]. The Allee effect is an important and interesting phenomenon in both biological and mathematical sense. From biological point of view, the Allee effect it produces to low population densities when the individual growth rate is a increasing function with density [DENN 89], and for this its possibilities of extinction increases [COURC 99]; the importance of this
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ORGANIZADO POR LA SOCIEDAD LATINOAM
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