Libro de Resúmenes / Book of Abstracts (Español/English)

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Resumenes 82 Consecuencias del efecto Allee en el modelo de depredación de May-Holling-Tanner Lina María Gallego Berrío 1 y Eduardo González-Olivares 2 1 Maestría en Biomatemáticas, Universidad del Quindío, Armenia, Colombia. 2 Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias Básicas y Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile. limaga_2@hotmail.com ejgonzal@ucv.cl En este trabajo analizamos la dinámica de un modelo de depredación que se obtiene considerando el efecto Allee en la ecuación de crecimiento de las presas, a partir del modelo de May-Holling-Tanner [1, 8,10], el cual supone que la interacción expresada por la respuesta funcional es del tipo Holling II. En dinámica poblacional cualquier mecanismo ecológico que pueda llevar a una relación positiva entre un componente medible de la fitness (adaptación) individual y el número o densidad de los conespecfícos puede ser llamado un mecanismo de efecto Allee, fenómeno que se da en algunas poblaciones animales y que expresa una relación positiva a bajas densidades, entre la tasa de crecimiento de la población y la densidad [4, 9]. En ciencias pesqueras este fenómeno es llamado depensación [3, 7]. Suponemos además en esta presentación, que el tamaño de las poblaciones varía en forma continua con respecto al tiempo y que ellas están uniformemente distribuídas en un medio ambiente, no considerando distinción por edades ni sexo. El modelo propuesto que es del tipo Leslie [11] es descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales ⎧dx ⎛ x ⎞ qx ⎪ = r⎜1 − ⎟( x − m) x − y ⎪ dt ⎝ K ⎠ x + a ⎪ X µ : ⎨ ⎪ ⎪dy ⎛ y ⎞ = s ⎪ ⎜ ⎜1− ⎟ y ⎩ dt ⎝ n x ⎠ 7 donde µ = ( r, K, q, b, a, s, n) ∈ℜ + y los parámetros tienen diferentes significados biológicos. Hacemos el estudio sobre el sistema topológicamente equivalente al original ⎧du 2 ⎪ = ( ( 1− u)( u − M )( u + A) − v) u dτ ⎪ Yη : ⎨ ⎪ dv ⎪ = B( u − v)( u + A) v ⎩dτ lo que se consigue a través de un difeomorfismo [2, 6]. Comprobamos que el efecto Allee produce una notable modificación en el comportamiento del sistema de May-Holling-Tanner el cual fue estudiado anteriormente [8], donde se demostró que para cierto conjunto de parámetros dicho modelo
Resumenes 83 tiene un único punto de equilibrio al interior del primer cuadrante rodeado de dos ciclos límites, comprobando además que, la estabilidad local no implica estabilidad global. En el modelo aquí estudiado aparece una variada gama de dinámicas que no son topológicamente equivalentes al sistema May-Holling-Tanner original y para las cuales se da su interpretación en su contexto ecológico. Entre otros resultados tenemos que: 1. Para cualquiera que sea el valor de los parámetros la singularidad (0, 0) es un atractor no hiperbólico [2, 6] y (1,0) es una silla hiperbólica. 2. Existen condiciones en los parámetros para los cuales existen dos puntos de equilibrio al interior del primer cuadrante, o bien uno de multiplicidad dos, o ninguno. 3. Cuando se tiene un único punto de equilibrio al interior del primer cuadrante da lugar a la ocurrencia de la bifurcación silla-nodo de codimensión 2 [2] 4. Cuando se tienen dos singularidades positivas una de ellas es siempre silla hiperbólica y la naturaleza de la otra depende del signo de la traza, en este caso también tenemos un único ciclo límite que se produce vía bifurcación de Hopf rodeando a esa singularidad. El sistema Yn es altamente sensible a las condiciones iniciales y como el origen siempre es atractor existe implica que la posibilidad de extinción de ambas poblaciones es alta dependiendo principalmente de la razón presa-depredador. Consequences of the Allee effect in May-Holling-Tanner predation model In this work we analyze a deterministic continuous-time predatorprey model in which the Allee effect is considered on the prey growth equation and it is also assumed that the functional response is Holling type II and the predator population rate is of the logistic type; this model is called May-Holling-Tanner model [1, 8,10]. In population dynamics analysis, an ecological mechanism that leads to a positive relationship between a component of individual fitness and either the number or density of conspecifics is called an Allee effect mechanism (Courchamp et al 1999, Stephens and Sutherland 1999}. This phenomenon appears in certain animal populations and expreses a positive relationship at low densities between population growth rate and density (Courchamp et al 1999). This phenomenon has also been called depensation in fisheries sciences (Clark 1990, Meneses-Alcay and González- Olivares, 2004). In this presentation, we assume that the population size changes in continuous form with time and populations are uniformly distributed in the environment; neither sex nor age distributions are considered. The model proposed is the Leslie type (Turchin, 2003) and is described by the differential equations system:
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