Libro de Resúmenes / Book of Abstracts (Español/English)

Resumenes 95
Un modelo epidemiológico con autómatas celulares
Juan Carlos Hernández Gómez
Centro de Investigación en Matemáticas
Guanajuato, México.
carloshg@cimat.mx
Cuando se hace el modelado de procesos epidemiológicos,
normalmente se recurre al uso de las ecuaciones diferenciales. Aunque
estos modelos han producido ya resultados interesantes, hay elementos que
pueden ser mejor capturados con otras herramientas. Por ejemplo, en los
modelos con ecuaciones diferenciales se hace uso de la ley de acción de
masas para representar la forma de contagio de los individuos susceptibles.
Y, en muchos casos, no es del todo cierto que la forma de contagio se dé de
esta forma. Así mismo, si el modelo contempla un proceso de vacunación
ésta no siempre se da en forma homogénea e indiscriminada. Partiendo de
este hecho nos hemos propuesto modelar algunos procesos epidemiológicos
utilizando Autómatas Celulares, los cuales nos permiten, además tener un
control espacio temporal explícito, incorporar algunas políticas de
vacunación y modelar los procesos de infección de una forma más realista,
en particular se introducen efectos estocásticos en vacunación, lugar de
nacimiento, muerte e infección.
Cuando se estudian procesos epidemiológicos, mediante ecuaciones
diferenciales, uno de los parámetros importantes que aparecen es el
llamado Número Reproductivo Básico (Ro), el cual es una combinación de
los parámetros involucrados en el modelo. La importancia de este
parámetro radica en el hecho de que puede ser utilizado como parámetro
de bifurcación y se tiene que para valores de Ro por debajo de uno, el punto
de equilibrio trivial, (libre de enfermedad) es estable y si es mayor que uno,
es inestable. Lo que esto significa básicamente es que si Ro es menor que
uno la enfermedad desaparecerá en algún momento y si Ro es mayor que
uno habrá un brote endémico. Sin embargo, en algunos modelos y bajo
ciertos valores de los parámetros, se puede presentar un fenómeno
conocido como bifurcación hacia atrás. El fenómeno de la bifurcación hacia
atrás es por si solo materia de un estudio muy importante. Este fenómeno
se presenta cuando para valores del parámetro Ro menores que uno se tiene
un punto de equilibrio no trivial el cual es estable. Entender las causas que
provocan la bifurcación hacia atrás, pero aún más las formas en que puede
desaparecer, es de suma importancia para los encargados de diseñar
políticas de control de enfermedades. Este fenómeno ha sido estudiado
ampliamente en algunos trabajos (Kribs-Zaleta y Jorge X. Velasco-
Hernández, Math Biosci. Vol. 164, Issue 2, Mayo-Junio 2000, pp. 183-201;
Julien Arino et al, SIAM Appl. Math., Vol. 64, No. 1, pp. 260-276; J Dushoff,
W. Huang y C. Castillo-Chavez, J. Math. Biol., Vol. 36, pp. 227-248). Sin
embargo su estudio se limita a modelos con ecuaciones diferenciales.
En este trabajo abordamos, empleando autómatas celulares, el
problema del modelado de un sistema SIV ,(Susceptible, Infectado,
Vacunado) el cual presenta bifurcación hacia atrás. Para mostrar esto es
necesario precisar qué se entenderá por parámetro de bifurcación y qué
será el equivalente de puntos estacionarios.