Libro de Resúmenes / Book of Abstracts (Español/English)

Resumenes 55
Sincronismo em redes de populações com acoplamento não
linear
Jacques A. L. da Silva, José A Barrionuevo, Flávia T. Giordani
Departamento de Matemática Pura e Aplicada
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Av. Bento Gonçalves 9500 Cep: 91509-9000
Porto Alegre RS Brasil
jaqx@mat.ufrgs.br
O objetivo deste trabalho é estudar a sincronização de populações
acopladas via movimento migratório dependente da densidade. Para isto
considera-se uma metapopulação com n sítio idênticos, cada qual tendo
dinâmica local (reprodução e sobrevivência) dada por x t+
1 = f ( xt
) , onde x
é a população do sítio j no instante t. Após a dinâmica local acontece o
movimento migratório entre os sítios. Supomos que ( )
i
µ xt
é fração de
indivíduos que sai do sítio i no instante t e que ( )
i
c ji µ xt
é fração de
indivíduos que sai do sítio i em direção ao sítio j. Então, a dinâmica de
metapopulação é dada pelos sistema de n equações
x
n
j
j j
t + 1 = t t ∑
i=
1
[ 1−
µ ( f ( x ))] f ( x ) + c µ ( f ( x )) f ( x ) , j = 1,
2,
K,
n .
Estudamos a estabilidade de uma órbita sincronizada x t = xt
, para
todo j = 1, 2,
K,
n , onde x t+
1 = f ( xt
) . Estas órbitas estão sobre a diagonal do
espaço de fase que é um conjunto invariante neste caso. Seguindo-se a
evolução temporal de uma perturbação transversal de uma órbita sobre
esse conjunto invariante (órbita sincronizada) podemos obter condições que
garantam a estabilidade de atratores no conjunto invariante (atratores
sincronizados). Para órbitas típicas a condição de estabilidade é L Λ < 1 ,
onde
1
L lim f ′ ( x ) K f ′ ( x ) f ′ ( x ) t
= τ −1
τ →∞
é o número de Liapunov da órbita e o quantificador Λ é definido por
Λ = ( −ϕ
( xτ
−1
τ →∞
ji
1
i
t
1
K ( I −ϕ
′ ( x ϕ τ
1)
A)(
I − ( 0 ) ,
lim I ′ ) A)
′ x
onde ϕ ( x ) = xµ
( x)
é a função que dá o número de indivíduos que migra em
cada sítio, A é uma matriz ( n −1) x(
n −1)
obtida a partir dos coeficientes c ij , e
I é a matriz identidade ( n −1) x(
n −1)
. A análise da expressão acima nos
permite concluir que
Λ ≤ lnσ
( H ϕ x ) dρ(
x)
,
onde (x)
[ ] T
1 1
exp ∫ −1
′ ( )
H ϕ′ é uma matriz nxn com λ = 1 como autovalor e
1 L como autovetor associado que obtida a partir de ϕ ′ e dos
coeficientes c ij , σ − 1( H ϕ′
( x)
) é o raio espectral de H ϕ′ (x)
uma vez subtraído o
autovalor λ = 1 de seu espectro, e ρ é medida natural invariante.
Demonstra-se que em alguns casos especiais a desigualdade acima é de
fato uma igualdade.
0
i
t
j
j
j
j
t