Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

µ/ε Β
S / (Nk B )
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
2
1
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
k B T/ε Β
1.5
1.0
0.5
0.0
1.0
0.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0
Figure 28 – Dépendance de la température du potentiel chimique, la pression, l’entropie
et la capacité calorifique d’un gaz de bosons en 2 dimensions.
13.4 Thermodynamique des gaz de bosons en trois dimensions :
Condensation Bose-Einstein
Regardons maintenant comment le résultat pour la relation µ(N, V, T ) est influencé
quand notre gaz est constitué de bosons en 3 dimensions. Dans le chapitre 13.2 nous
avons montré, en utilisant la théorie microscopique, que la relation µ(N, V, T ) est donné
implicitement par la relation
N = AV
∞
0
k B T/ε Β
1
e (ɛ−µ)/(kBT ) − 1 ɛ η dɛ (13.9)
En général la solution pour µ en fonction de T de cette équation ne peut être trouvé que
par des méthodes numériques. Il existe pourtant quelques cas spéciaux pour lesquels des
solutions analytiques existent :
– La solution pour T si µ = 0.
– Le cas où η = 0
Pour commencer avec le premier cas : Si µ = 0, le côté droit de notre expression 13.9
devient une intégrale standard,
∞
Jη =
0
x η
e x − 1 dx
η −1/2 0 1/2 1 2
Jη ∞ ∞ 2.253 1.644 2.404
Pour des raisons qui seront élaborées ci-dessous, on appelle la température à laquelle µ
devient zéro la ’température de condensation’, pour laquelle nous réservons le symbole
Tc. La température de condensation est donc
kBTc =
n
AJη
101
1/(1+η)
p / (nε Β )
C V / (Nk B )
(13.10)