Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

13.2 Equation d’état des gaz bosoniques
d’où
et
Pour des bosons l’équation 11.2 s’écrit :
N =
∞
0
N = V Aβ −η−1
∞
β =
V A
N
∞
0
1
e β(ɛ−µ) − 1 V Aɛη dɛ =
0
1
e x−βµ − 1 xη dx
1
ex−βµ − 1 xη 1/(1+η) dx
(13.2)
En général la solution pour µ en fonction de β (ou pareillement T ) de cette équation
ne peut être trouvée que par des méthodes numériques. Il existe pourtant quelques cas
spéciaux pour lesquelles des solutions analytiques existent :
– La solution pour β si µ = 0.
– Le cas où η = 0
13.3 Thermodynamique des gaz de bosons en deux dimensions
Dans cette sous-section nous nous occupons d’un cas spécial de l’équation 13.2, celui
où η = 0, ce qui correspond à un gaz de bosons massifs en deux dimensions. Bien que ce cas
semble sans doute un peu étrange, contrairement au cas plus commun de 3 dimensions, les
équations d’état peuvent être déduit sous forme analytique pour le cas deux dimensionnel.
Du point de vue expérimental, les gaz de bosons piégés en deux dimensions ont été réalisés
sous des conditions controlées. L’équation s’écrit
β N
V A =
∞
L’intégrale du côté droit a la suivante solution analytique
donc
0
1
ex−βµ dx (13.3)
− 1
ln(1 − e −x+βµ ) ∞
0 = − ln(1 − eβµ )
1 − e −βN/(V A) = e βµ
Le facteur N/(V A) a les unités d’énergie. Comme dans le cas des fermions, il est utile
d’introduire un symbole pour indiquer cette énergie caractéristique. Dans la suite de ce
chapitre nous réserverons le symbole ɛB ≡ N/(V A) pour cette énergie, avec lequel
µ(N, V, T ) = kBT ln 1 − e −βɛB
(13.4)
où nous reconnaissons le deuxième terme de l’équation 12.5 pour le gaz de fermions. Afin
d’obtenir l’équation d’état p(N, V, T ) nous procedons de la même manière que pour le modèle
Maxwell-Boltzmann. A l’aide de la relation de Maxwell ∂p/∂N| V,T = − ∂µ/∂V | N,T
nous obtenons
∂p
∂N
V,T
= N
AV 2
1
eN/(AV kBT ) − 1
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