Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

nombre d’états d’énergie dans l’intervalle {ɛ−δɛ/2; ɛ+δɛ/2} est proportionnel au volume !
On trouve donc, que la distance moyenne entre deux niveaux d’énergie est
δɛ/δN ∝ V −1
(9.3)
(ii) Les seuls paramètres qui caractérisent le problème sont : diamètre de la boîte
V 1/d , masse de la particule m, constante de Planck . La combinaison 2 V −2/d /m est
la seule combinaison qui a les dimensions d’énergie, à l’aide de laquelle nous exprimons
l’expression ci-dessus
δɛ/δN = C( 2 V −2/d /m) d/2
Le facteur entre parenthèses a la dimension d’énergie. Le terme à gauche de l’équation a
également la dimension d’énergie. Il suit que forcément C doit avoir la dimension d’énergie
à la puissance 1 − d/2.
(iii) La seule échelle d’énergie dans notre problème à part 2 V −2/d /m, est l’énergie
moyenne de l’intervalle {ɛ−δɛ/2; ɛ+δɛ/2} pour laquelle nous sommes en train de calculer
la distance moyenne entre les niveaux d’énergie. Il suit que C ∼ ɛ 1−d/2 , donc la distance
moyenne entre les niveaux d’énergie est δɛ/δNɛ ∼ d V −1 m −d/2 ɛ 1−d/2 .
L’inverse de cette quantité, δNɛ/δɛ est le nombre de niveaux d’énergie dans l’intervalle
{ɛ − δɛ/2; ɛ + δɛ/2}. En prenant la limite δɛ → 0 nous reconnaissons, que cela correspond
à la définition de la dérivée dN/dɛ, où N(ɛ) est le nombre de niveaux d’énergie inférieur
à ɛ.
Définition : Considérant une certaine valeur de l’énergie, la densité d’états D(ɛ) quantifie
le nombre de niveaux d’énergie par unité d’énergie autour de cette valeur de l’énergie.
La densité d’états est donnée par la dérivée dN/dɛ, où N(ɛ) est le nombre de niveaux
d’énergie inférieur à ɛ.
Ainsi nous arrivons à l’expression pour la densité d’états pour une particule dans une
boîte en d dimensions
D(ɛ) = AV ɛ η
2m
A ∼
2
d/2
η = d
− 1 (9.4)
2
Pour concrétiser la chose nous allons calculer le nombre d’états pour les paramètres
suivants : L=10 cm, ɛ = kB · 300 K, m = 4.7 · 10 −26 kg (azote), d=3. Avec ces paramètres
D(ɛ) = 1.6·10 51 (J −1 ). La distance moyenne entre les niveaux d’énergie est donc 1/D(ɛ) =
6.4·10 −52 (J). Cela correspond à 4.6·10 −29 Kelvin. Les fluctuations thermiques permettent
une incertitude sur l’énergie d’environ δɛ = kBT . Le nombre de niveaux d’énergie dans
cette bande est donc δN = 2 · 10 23 , ce qui est clairement un nombre astronomique.
Nous voyons, que, malgré le fait que les énergies sont quantifiées, on n’en remarquera
pas facilement l’effet dans la vie quotidienne. Sur une échelle macroscopique les niveaux
d’énergie sont tellement proches les uns des autres, qu’on ne remarque pas que les énergies
sont quantifiées.
9.4 Bosons et Fermions
Toutes les particules élémentaires découvertes à ce jour sont soit des bosons, soit des
fermions. Des particules composées de plusieurs particules élémentaires peuvent également
être classées comme des fermions ou des bosons, comme suit : Si un objet est composée de
plusieurs bosons, le résultat est un boson. Si un objet est composée de plusieurs fermions,
72