Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

académique). Si la température est augmentée, le saut est progressivement arrondi, ce qui
implique que les fermions sont rédistribués dans une bande d’énergie de l’ordre de kBT
autours µ. Cette influence de la température diminue exponentiellement en fonction de
|ɛ − µ|/(kBT ). Les propriétés thermodynamiques sont donc déterminées par la densité
d’états aux alentours de ɛ = µ.
12.2 Equation d’état des gaz fermioniques
Comment le résultat pour la relation µ(N, V, T ) est-il influencé quand nous remplaçons
nMB(ɛ) par nF D(ɛ) dans l’expression 11.2 ? L’expression pour la densité d’états D(ɛ) est
indépendante du type de particule (boson/fermion/Maxwell-Boltzmann). Dans ce chapitre
uniquement le cas des fermions en deux dimensions sera traité. La condition que le nombre
de particules dans un volume V vaille N s’écrit
β N
V A =
∞
L’intégrale du côté droit a la solution analytique suivante
donc
0
1
ex−βµ dx (12.3)
+ 1
− ln(1 + e −x+βµ ) ∞
0 = ln(1 + eβµ )
e βN/(V A) − 1 = e βµ
Afin d’abréger la notation, il sera utile de définir
ɛF = N/(AV ) (12.4)
µ(N, V, T ) = kBT ln e βɛF − 1
Il est utile de réarranger les termes en utilisant e βɛF − 1 = e βɛF · (1 − e −βɛF ) ce qui,
conjointement avec la propriété des logarithmes ln(a · b) = ln(a) + ln(b) résulte en
µ(N, V, T ) = ɛF + kBT ln 1 − e −βɛF
(12.5)
A cause du premier terme le potentiel chimique du gaz de fermions converge vers ɛF pour
T → 0, et est donc positif à basses températures.
12.3 Thermodynamique des gaz de fermions
Afin d’obtenir l’équation d’état p(N, V, T ) nous procédons de la même manière que
pour le modèle Maxwell-Boltzmann. A l’aide de la relation de Maxwell ∂p/∂N| V,T =
− ∂µ/∂V | N,T nous obtenons
∂p
∂N
V,T
= N N
+
AV 2 AV 2
1
e N/(AV kBT ) − 1
Afin d’obtenir la pression de N particules, il faut intégrer les deux côtés de cette expression
N
∂p
∂N ′
dN ′ N ′ ′ N N
=
+
AV 2 AV 2
1
eN ′
dN /(AV kBT ) − 1
′
0
V,T
0
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