Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

F
S / (Nk B )
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
2
1
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
k B T/ F
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1.0
0.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0
Figure 26 – Dépendance de la température du potentiel chimique, la pression, l’entropie
et la capacité calorifique d’un gaz de fermions en 2 dimensions.
donc
p(N, V, T ) − p(0, V, T ) =
2 N
N
+
2AV 2
0
k B T/ F
N ′
AV 2
p / (n F )
C V / (Nk B )
1
e N ′ /(AV kBT ) − 1 dN ′
La pression en absence de particules est nulle, donc p(0, V, T ) = 0. Nous effectuons un
changement de variable d’intégration dN ′ → dz à l’aide de la substitution N/(AV kBT ) =
z. Ainsi, et avec la définition ɛF = N/(AV ), l’équation d’état s’écrit
p(N, V, T ) =
2 N
2AV 2 + A(kBT ) 2
βɛF
0
z
ez dz (12.6)
− 1
A cause du premier terme la pression ne converge pas vers zéro pour T → 0 ! Le fait qu’au
zéro absolu la pression d’un gaz de fermions reste non-nulle est un propriété générale des
gaz de fermions, ce comportement se présente indépendamment du nombre de dimensions.
A l’aide de la relation F = µN − pV nous obtenons le potentiel de Helmholtz
F (N, V, T ) =
2 N
2AV + NkBT ln 1 − e −βɛF
(kBT )
− N 2 βɛF
ɛF 0
Le premier terme ne contribue pas à l’entropie. Conséquemment :
et
T
S(N, V, T ) = 2Nk 2 B
ɛF
T
CV = 2Nk 2 B
ɛF
βɛF
0
βɛF
0
z
ez − 1 dz − NkB ln 1 − e −βɛF
z
ez ɛF
dz − N
− 1 kBT
1
e βɛF − 1
z
ez dz (12.7)
− 1
Cette prédiction est en accord avec ce qu’on observe dans des expériences avec des gaz de
fermions, une example est donnée dans la figure 27.
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