Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

12 Fluides fermioniques
12.1 Distribution Fermi-Dirac
Le principe d’exclusion, formulé en 1925 par Wolfgang Pauli, interdit à deux fermions
de se trouver au même endroit dans le même état quantique. Ainsi dans l’atome, tous les
électrons ont des nombres quantiques différents ; c’est également le cas dans tous les autres
systèmes de fermions. Considérons à nouvean un niveau d’énergie ɛ, en équilibre chimique
avec l’extérieur, dont le potentiel chimique est µ. Posons-nous la question combien de
fermions se trouvent à la moyenne dans ce niveau d’énergie. Nous pouvons utiliser la
distribution de Gibbs (Eq. 10.10) pour la probabilité d’avoir n particules dans ce niveau
wn = 1
Q e−βn(ɛ−µ)
mais contrairement aux cas de bosons, le nombre n est contraint à n = 0 ou 1.
Le nombre moyen est donc
nF D(ɛ) =
1
nwn =
n=0
Q = 1 + e −β(ɛ−µ)
1
1 + e−β(ɛ−µ) −β(ɛ−µ)
0 · 1 + 1 · e
Ainsi nous avons déterminé la célèbre distribution de Fermi-Dirac
nF D(ɛ) =
1
e β(ɛ−µ) + 1
(12.1)
Pour des particules (atomes, molécules) fermioniques, comme des électrons, neutrons,
quarks, positons, atomes d’ 3 He, les propriétés thermodynamqiues des fermions dépendent
peu du nombre de dimensions 10 Pour des fermions en 1 ou en 3 dimensions les solutions
analytiques sont difficiles à obtenir. D’autre part le comportement de la chaleur spécifique,
pression et des autres propriétés est qualitativement pareil en 1, 2 ou 3 dimensions, tandis
que la solution analytique est relativement simple en 2 dimensions. Pour cette raison nous
ne discutons dans ce chapitre que du cas des fermions en deux dimensions. Considérons
d’abord le nombre d’occupation d’occupation Fermi-Dirac. C’est facile à vérifier, que la
valeur de nF D(ɛ) se trouve dans l’intervalle {0, 1} pour toutes les valeurs de µ et ɛ. Dans
la limite T → 0 les valeurs sont
nF D(ɛ) = 1 (ɛ < µ)
nF D(ɛ) = 1/2 (ɛ = µ)
nF D(ɛ) = 0 (ɛ > µ)
(12.2)
Les niveaux d’énergie sont donc occupés jusqu’à une énergie ɛ = µ, les autres restent
vides. Cela implique qu’à basse température le potentiel chimique d’un gaz de fermions
est forcément positif (sauf si le nombre de fermions dans le gaz était nul, un cas assez
10. En réalité on trouve souvent des phénomènes fondamentalement différents en 1, 2 ou 3 dimensions
pour des fermions. Cela est une conséquence des interactions entre des particules. La physique des particules
interagissantes est un des domaines les plus vifs de la physique contemporaine, et d’une complexité
stupéfiante.
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