Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

cours, il est pratique d’avoir les expressions exactes à sa disposition. En règle générale la
densité d’états de particules libres est
D(ɛ) = 0 (ɛ < 0)
D(ɛ) = V · A · ɛ η (ɛ ≥ 0)
(11.3)
La Table 11.2 résume les coefficients de cette expression pour des particules avec masse
m en 1, 2 et 3 dimensions, et pour des particules dont m = 0 et dont la vitesse est c.
11.3 Modèle de Maxwell et Boltzmann
Le nombre d’occupation n(ɛ) est le nombre moyen de particules avec une énergie ɛ.
A l’équilibre cette fonction est entièrement déterminée par ɛ − µ et la température. La
théorie qui permet de calculer cette fonction est la physique statistique, dont un avantgoût
a déjà été donné dans le chapitre précédent. D’abord nous regardons le plus ancien
modèle, celui de Maxwell et Boltzmann. Dans ce modèle un rôle central est attribué à la
suivante expression pour la distribution de Maxwell-Boltzmann
ɛ − µ
nMB(ɛ) = exp −
kBT
(11.4)
L’équation 11.2 se laisse resoudre aisément. C’est pratique d’utiliser la notation β =
1/(kBT ). Ainsi
N =
∞
e
0
−β(ɛ−µ) (V Aɛ η ) dɛ
Nous divisons les deux côtés par le volume V , et, avec un changement de variables βɛ = z,
nous obtenons
N
V = eβµ A(kBT ) 1+η
∞
e
0
−z z η dz
L’intégrale est standard : Iη ≡ ∞
0 e−xxηdx, et l’equation ci-dessus peut être facilement
inversée afin d’en extraire µ en fonction de la température :
(η + 1) −1
[N/(V AIη)]
µ = kBT ln
1/(η+1)
(11.5)
kBT
Déjà ce résultat ressemble l’équation d’état µ(N, V, T ) que nous avons obtenu pour le
gaz parfait (Eq. 6.32). Pour illuminer cette relation, nous rappelons d’abord le résultat
du chapitre ?? que, pour un gaz mono-atomique, 1/(γ − 1) = d/2, et ensuite le résultat
du chapitre 9.3 que η = d/2 − 1, où d est le nombre de dimensions. Conséquemment η et
γ sont liés par la relation :
(η + 1) −1 = γ − 1
Puis, nous associons le numérateur du côté droit de l’expression 11.5 avec eγkBT0 1/(η+1) N/V
kBT0 = e −γ
Dans la théorie du gaz parfait kBT0 était introduite à l’aide de la définition :
AIη
kBT0 = (γ − 1)ρ(N/V ) γ−1
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