Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

11 Basses Températures
Dans ce chapitre nous discutons des propriétés à basse température. Ce chapitre est
une belle démonstration de la puissance de la thermodynamique. Dans le chapitre ?? sur la
théorie cinétique une longue discussion et plusieurs suppositions étaient nécessaires pour
dériver la loi du des gaz parfaits (Eq. 4.8) et le théorème d’équipartition (Eq. 4.15). De
plus, afin d’obtenir l’équation d’état E(N, V, S) (Eq. 6.27) il était nécessaire d’introduire
une constante ρ qui restait indéterminée par la théorie.
Il est pourtant possible de dériver la valeur exacte de ρ, mais pour cela il est nécessaire
de partir d’une description microscopique. Regardons plus en détail cette constante pour
le gaz mono-atomique en 3 dimensions, où γ = 5/3. Vue que les deux côtés de Eq.6.27
doivent avoir des dimensions identiques, il est nécessaire que ρ aie des dimensions : energie ·
superficie, c’est à dire Jm 2 =kg·mètre 2 ·seconde −2 ·mètre 2 =kg·mètre 4 ·seconde −2 . Sur le plan
microscopique la théorie cinétique est basée sur l’hamiltonien de N particules libres avec
masse m
H =
N
j=1
1 2
|pj|
2m
(11.1)
avec des conditions de bord qui limitent le parcours de ces particules au volume V du
récipient. Au total ce modèle se sert de trois paramètres : m, N et V , et toutes les
grandeurs du chapitre ?? sont exprimées en ces trois paramètres ! Or, le paramètre ρ a
les dimensions ’kg·mètre 4 ·seconde −2 ’, ce qui est incompatible avec une combinaison de la
forme (V/N) a · m b , car V/N a des dimensions de ’mètre cube’, et m a des dimensions de
’kilogramme’. Apparemment le modèle que nous avons utilisé jusqu’à maintenant était
incomplet. Notamment il manque un paramètre qui permet de définir ρ. Ce paramètre
devrait avoir des dimensions ’kg a ·mètre b ·seconde c ’ !
La solution est fournie par la mécanique quantique (c.f. chapitre9) dans laquelle un paramètre
universel apparaît : la constante de Planck, = 1.05457266·10 −34 (kg·mètre 2 ·seconde −1 ).
A l’aide de nous pouvons enfin construire 2 m −1 (N/V ) 2/3 dont les dimensions sont celles
de ρ. Cela suggère que ρ ∝ 2 m −1 . En effet, ce résultat découle du traitement rigoureux
de ce problème. Nous allons le regarder plus en détail ci-dessous.
Dans les suivantes sous-sections nous allons considérer trois types des gaz, qui diffèrent
par la façon dont le nombre de particules est distribué en fonction de leur énergie : Le
premier cas est le modèle de Maxwell et Boltzmann, qui débouche sur les expressions
que nous avons déjà trouvé pour le gaz parfait. Les deux autres exemples concernent des
bosons et des fermions, dont le comportement à basse température est fondamentalement
différent. Pour les trois cas nous allons utiliser la méthode suivante pour obtenir les
potentiels thermodynamiques et les équations d’état :
1. Tout d’abord nous établissons l’équation d’état µ(N, V, T ) à partir d’une description
microscopique. C’est-à-dire que nous devrons dériver la relation entre le potentiel
chimique µ et N d’un gaz dans un volume V , dont la température est T . C’est la
seule étape pour laquelle on a besoin d’une description microscopique
2. Ensuite nous dérivons l’équation d’état p(N, V, T ), à l’aide de la relation de Maxwell
(2a) de la Table 7.4 :
∂p
∂N
= − ∂µ
∂V
V,T
Après intégration par rapport à dN des deux côtés de l’égalité, nous obtenons l’expression
p(N, V, T ) − p(0, V, T ) en tenant compte du fait que l’intégration est entre
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N,T