Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

ce qui est bien observable. Un électron aura même diffusé sur une distance de 3 mètres
après une heure.
Objet Masse 2/m Après 1 heure Après 4 · 10 9 ans
Bicyclette 30kg 7.2 · 10 −36 m 2 s −1 1.6 · 10 −7 nm 1nm
Atome de cuivre 1.1 · 10 −25 kg 1.9 · 10 −9 m 2 s −1 2.6mm 15km
Electron 9.1 · 10 −31 kg 2.3 · 10 −4 m 2 s −1 92cm 5200km
9.2 Quantification de l’Énergie
Si l’on supposait que les lois classiques étaient valables pour un mélange d’électrons et
de noyaux, le système au repos serait constitué d’électrons qui se seraient écrasés sur les
noyaux. La matière ainsi formé aurait une densité 2·10 14 fois supérieure à celle qu’on trouve
dans les substances chimiques. Apparemment un ange gardien prévient l’écrasement d’un
électron sur le noyau, malgré la présence de la force de Coulomb qui l’attire vers le noyau.
Cet ange gardien n’est rien d’autre que la mécanique quantique. La mécanique classique
permet des processus de frottement par lesquelles l’électron perd sa vitesse, et atterrit
finalement sur le noyau où il reste immobile. Ce dernier est pourtant exclu par le principe
d’Heisenberg : Tandis que l’électron est attiré de plus en plus profondément dans le puit
de potentiel engendré par le noyau, l’incertitude concernant ses coordonnées spatiales
décroît et, suite au principe d’incertitude, l’incertitude relative à sa vitesse augmente. Par
conséquent, il est contraint, comme Sisyphe, de continuer son mouvement pour l’éternité....
Peut-être considérez-vous indigne d’un ange gardien de faire trimer l’électron à jamais,
mais faites attention. Contrairement au pitoyable Sisyphe, tenu à traîner perpétuellement
une lourde charge en montant, l’électron arrivera ultimement dans un état complètement
dépouillé de frottement. Une fois arrivé dans cet état il n’effectue donc plus du travail. Et
voilà ! La vie éternelle de notre électron est complètement affranchie de peine. L’électron
se trouve maintenant dans un nuage de probabilités qui est aussi proche du noyau que
possible, et où il a perdu autant de son énergie initiale que possible. On l’appelle ’état de
base’. Le barrage de frottement dans l’état de base semble un peu bizarre ; il vaut mieux
s’y habituer aussi tôt que possible.
Nous pouvons estimer le diamètre du nuage de probabilités dans l’état de base en
appliquant des arguments dimensionnels. Pour être spécifique nous considérons le cas où
le noyau est un proton. Nous parlons donc d’un atome d’hydrogène. Le problème de la
mécanique quantique d’un électron en orbite autour d’un proton est caractérisé par trois
ingrédients :
(i) La force de Coulomb F = g/r 2 où g = e 2 /(4πɛ0)
(ii) L’énergie cinétique de l’électron mev 2 /2
(iii) Le principe d’Heisenberg δv · δx ≫ /m.
Nous voyons que trois paramètres déterminent les propriétés : g (kgm 3 s −2 ), masse (kg)
et (kgm 2 s −1 ). Après un petit peu de réflexion on arrive à la conclusion que seulement
une combinaison particulière de ces trois paramètres a la dimension de longueur (mètre) :
Afin de retenir cette dernière il faut se débarrasser des kg et s. Pour commencer, il faut
qu’on prenne 2 /g, et ainsi obtenir une quantité avec des dimensions kg mètre. Il suffit
que nous divisions par la masse de l’électron pour retenir a0 = 2 /(meg) = 4πɛ0 2 /(mee 2 )
qu’on appelle le rayon de Bohr. La valeur est a0 = 5, 2917721 · 10 −11 mètre, et cela
correspond réellement au rayon d’un atome d’hydrogène. On obtient l’énergie cinétique
dans l’état de base avec des arguments similaires : Ry = g/(2a0) = (/a0) 2 (2me). L’énergie
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