Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

Par conséquent AIη et ρ sont liés par la relation
(AIη) −1/(1+η) = e γ (γ − 1)ρ
Ainsi nous arrivons à la conclusion que l’equation 11.5 correspond au résultat pour le gaz
parfait, Eq. 6.32
µ(N, V, T ) = − kBT
γ − 1 ln
T
eγ
T0
(11.6)
Dans la table 11.3 les valeurs de ρ et de γ sont resumées pour des particules avec masse m,
et pour celles dont m = 0 et dont la vitesse est c. Le resultat le plus important est que, pour
des particules massives en 3 dimensions, la constante ρ ∼ 2 n 2/3 /m, où = 1.05457266 ·
10 −34 (Js) est la constante de Planck, et m la masse d’une molécule de gaz. Par conséquent
pour tous les gaz d’atomes ou de molécules T0 est une très basse température, proche du
zéro absolu. Par exemple pour de l’air sous des conditions ambiante T0 ∼ 0.001K.
1D 2D 3D
ɛ(p) γ (γ − 1)ρ γ (γ − 1)ρ γ (γ − 1)ρ
|p| 2
π 2
−2 2
3 e−3 2 πe 5/3 2 2m 2 m m 1/3 −5/3 2 πe m
c|p| 2 πe −2 c 3/2
√ 2πe −3/2 c 4/3 π 2/3 e −4/3 c
Table 11.3
Les constantes γ et ρ en plusieurs dimensions dans la relation kBT0 ≡ (γ − 1)ρn γ−1 pour
des particules avec masse m, et pour celles dont m = 0 et dont la vitesse est c.
Dans la deuxième étape nous utilisons la relation de Maxwell ∂p/∂N| V,T = − ∂µ/∂V | N,T .
A l’aide de l’équation 11.5 nous obtenons le côté droit de cette relation, donc
∂p
=
∂N
kBT
V
N
0
V,T
En intégrant les deux côtés de cette expression
∂p
∂N ′
dN V,T ′ = N
0
kBT ′ dN V
donc
p(N, V, T ) − p(0, V, T ) = NkBT
V
Evidemment la pression de zéro particules est nulle, c’est-à-dire p(0, V, T ) = 0, et nous
retrouvons la loi des gaz parfaits
pV = NkBT
La troisième étape consiste à calculer le potentiel de Helmholtz, F = Nµ − pV à l’aide
des expressions que nous avons obtenu pour µ(N, V, T ) et p(N, V, T ) :
F (N, V, T ) = − NkBT
γ − 1 ln
T
eγ
− NkBT = −
T0
NkBT
γ − 1 ln
T
(11.7)
eT0
90