Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

13 Fluides bosoniques
13.1 Distribution Bose-Einstein
Le terme de boson provient du nom du physicien Satyendranath Bose et aurait été
utilisé pour la première fois par Paul Dirac. Bose réalisa le premier que pour expliquer la
loi de Planck décrivant le rayonnement du corps noir à partir des photons précédemment
découverts par Einstein, il fallait supposer que les photons ne suivaient pas la statistique
de Maxwell-Boltzmann, mais plutôt une statistique désormais appelée statistique de Bose-
Einstein. Bose écrit un court article, Planck’s Law and the Hypothesis of Light Quanta,
qu’il envoie à Albert Einstein, après un rejet par le Philosophical Magazine. Einstein est
favorablement impressionné, le recommande pour publication dans Zeitschrift für Physik,
et il en fait lui-même la traduction de l’anglais vers l’allemand. Einstein va également
étendre la notion de boson à d’autres particules telles que les atomes et contribuer à la
popularité du concept de boson.
Considérons un niveau d’énergie ɛ, en équilibre chimique avec l’extérieur, dont le potentiel
chimique est µ. Posons-nous la question combien de bosons se trouvent en moyenne
dans ce niveau d’énergie. Nous pouvons utiliser la distribution de Gibbs(Eq. 10.10), qui
donne la probabilité d’avoir n bosons dans ce niveau
et
Le nombre moyen est donc
Q =
nBE(ɛ) =
n=0
wn = 1
Q e−βn(ɛ−µ)
∞
e −βn(ɛ−µ) = ... =
n=0
n=0
1
1 − e −β(ɛ−µ)
∞
nwn = (1 − e −β(ɛ−µ) ∞
) ne −βn(ɛ−µ)
Pour calculer cette formule il est utile d’écrire z = e−β(ɛ−µ) , donc
∞
∞
nBE(ɛ) = nwn = (1 − z) nz n = (1 − z)z d
∞
z
dz
n =
= (1 − z)z d 1
dz 1 − z
n=0
= (1 − z)z
1
n=0
=
(1 − z) 2
n=0
1
1/z − 1
Ainsi nous avons déterminé la célèbre distribution de Bose-Einstein
nBE(ɛ) =
1
e β(ɛ−µ) − 1
(13.1)
Les propriétés de la distribution de Bose-Einstein sont qualitativement différentes de
celles de la fonction d’occupation de Maxwell et Boltzmann et celle de Fermi-Dirac. Considérons
par exemple le comportement quand l’énergie ɛ approche le potentiel chimique µ :
Tandis que la fonction nMB(ɛ) varie graduellement, la fonction nBE(ɛ) diverge pour ɛ → µ.
En effet, pour ɛ < µ le nombre d’occupation nBE(ɛ) < 0. Un nombre négatif de particules
est absurde ! Or, la divergence pour ɛ → µ ’protège’ le nombre d’occupation. C’est à dire
que la divergence ’repousse’ le potentiel chimique avec le résultat qu’à chaque température
µ(T ) ≤ 0, la valeur de l’énergie cinétique est minimale.
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