Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

10 La Thermodynamique dans le Contexte Microscopique
10.1 Énergie caractéristique du gaz parfait
Dans le chapitre 6 nous avons dû introduire une échelle de la température T0 qui dépend
uniquement de la densité des atomes, mais qui est indépendante des fonctions d’état du
gaz. La constante ρ, qui apparaît dans l’expression kBT0 = 2/3ρn 2/3 a la dimension (en
unités S.I.) kg m 4 s −2 . Question : Quelle est la valeur de ρ ? La théorie cinétique du gaz
parfait ne peut pas nous aider ici : La masse d’une particule, m, et la densité de particules
n = N/V sont les seuls paramètres de ce model, et aucune combinaison de ces deux
paramètres n’a la dimension kgm 4 s −2 .
La réponse vient de la mécanique quantique, qui fournit, entre autres (cf. chapitre
9), le principe d’incertitude (alternativement indiqué comme la relation d’incertitude, ou
bien l’inégalité d’Heisenberg) :
δv · δx ≥ /m (10.1)
où δv et δx sont les incertitudes respectivement sur la vitesse et la position, m est la
masse de la particule, et = 1.05457266 · 10 −34 (Js) est la constante de Planck.
Il est facile de vérifier que la quantité 2 /m a la dimension J 2 s 2 /kg = kgm 4 s −2 , c’est
à dire les mêmes dimensions que ρ. De plus, toute autre combinaison des mêmes facteurs
aurait des dimensions qui ne correspondent pas à ceux de ρ. S’étant basés sur les arguments
dimensionnels nous sommes donc parvenus à obtenir une expression pour ρ, c’est-à-dire
ρ = ρ ′ 2 m −1 . Des arguments dimensionnels ne peuvent pas fournir des valeurs absolues,
raison pour laquelle un facteur d’ordre unité (ρ ′ ) reste indéterminé. Nous verrons plus
tard (chapitre 11.3) que le traitement rigoureux de la théorie microscopique fournit la
valeur ρ ′ = 6π
(2e) 5/3 , donc l’expression exacte pour T0 est finalement :
kBT0 = 6π
(2e) 5/3
2n2/3 m
(10.2)
Dans le chapitre 11 nous reverrons en détails la signifiance de cette échelle d’énergie.
Pour l’instant, nous nous contentons de remarquer que cette échelle représente la limite
inférieure où la thermodynamique classique -comme elle a été présentée jusqu’à ici- peut
être appliquée. Au-delà de cette limite, des effets quantiques dominent les propriétés
physiques. Cette limite inférieure est pourtant très basse. Le tableau donne une impression
pour quelques cas typiques.
Matériau Densité m/mp T0 (Eq. 10.2)
Air (300 K, 1 atm) 2.4·10 24 m −3 28 0.35 mK
Air-liquide (4K, 1 atm) 1.8·10 26 m −3 28 6.2 mK
He (4 K, 1 atm) 1.8·10 26 m −3 4 43 mK
He-liquide (4 K) 2.2·10 28 m −3 4 1.1 K
10.2 Energie d’une configuration, probabilité et température
Considérons un système -ou bien plusieurs sous-systèmes- en équilibre thermique avec
l’environnement, qui peu(ven)t adopter certaines configurations caractérisées par leurs
énergies. Nous allons numéroter tous les niveaux en ordre ascendant de leur énergie.
Désormais nous utiliserons la définition suivante :
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