Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

chaque sous-système, c’est à dire pour chaque niveau d’énergie ɛ (j) . Les états quantiques
qui correspondent aux différents niveaux d’énergie se recouvrent dans l’espace, mais cela
n’empêche pas le traitements comme des sous-systèmes indépendants grâce à l’absence
d’intéractions entre les particules. Dans les prochains chapitres nous allons regarder les
équations d’état des différents ’cépages’ de particules, basé sur le principe qu’un niveau
d’énergie se comporte comme un sous-système par rapport au nombre de particules qui
l’occupent.
11.2 L’équation d’état µ(N, V, T )
1D 2D 3D
masse ɛ(p) A η Iη A η Iη A η Iη
m = 0
|p| 2
2m
1
2π
1 1
m = 0 c|p| π c
2m
2 1/2 1 − 2
√ π 1
4π
2m
2
1 1 2
0 1 2π c
0 1 1
4π 2
2m
2 3/2 1
2
1
1 1 2π2
1 3
c
√ π
2
2 2
Table 11.2
La deuxième colonne donne la relation entre l’énergie cinétique ɛ et la quantité de
mouvement p pour des particules avec masse m, et celles sans masse avec vitesse c. Les
dernières trois colonnes donnent en 1, 2 et 3 dimensions les coefficients A et η dans
l’expression pour la densité d’états D(ɛ) = V · A · ɛ η .
Nous allons déduire la relation entre le potentiel chimique, µ, et N, le nombre de
particules enfermées dans un volume V à température T . Pour savoir combien d’électrons
se trouvent dans le recipient, il suffit de compter le nombre moyen d’électrons dans chaque
sous-système (j), c’est à dire dans chaque niveau d’énergie ɛ (j) , et d’additionner
N =
n ɛ (j)
j
Dans le chapitre 9.2 nous avons vue, que les niveaux d’énergie de particules massives,
enfermées dans un volume V , sont ɛ (j) ≈ 2 m −1 j 2 V −2/3 . On voit que, pour la limite
thermodynamique (V → ∞), la distance entre les niveaux voisins δɛ = ɛn+1 − ɛn → 0.
Cela veut dire qu’à la limite limV →∞ l’addition ci-dessus devient une intégrale
N =
∞
0
n(ɛ)D(ɛ)dɛ (11.2)
où D(ɛ)dɛ compte le nombre de niveaux d’énergie dans l’intervalle {ɛ−dɛ/2; ɛ+dɛ/2}. Pour
cette raison on appelle D(ɛ) la ’densité d’états’. En faisant ainsi, nous avons réalisé une
simplification considérable de la tâche de calculer l’addition ci-dessus. Il reste pourtant à
connaître la fonction d’occupation n(ɛ). Nous nous en occuperons dans les sous-sections
suivantes.
Dans le chapitre 9.3 l’expression pour la densité d’états était dérivée en utilisant des
arguments dimensionels. Bien qu’une dérivation rigoureuse va au-delà du cadre de ce
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