Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

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qui est prise nulle, si possible. (cf. chapitre 1.1). La capacité calorifique CV = T ∂S = T ∂T ∂ NkB ∂T γ − 1 ln T = NkB γ − 1 V ne dépend pas de la température dans notre modèle d’un gaz parfait. Or, c’est exactement à cause du fait que Cv = 0 que S(T ) diverge pour T → 0. Apparemment le troisième principe exclut que la capacité calorifique soit constante pour toutes les températures : Notre fidèle modèle du gaz parfait échoue pour des températures d’environ T0 et plus basses ! Le problème dans le chapitre précédent est que le modèle de Maxwell et Boltzmann est une bonne approximation dans la limite T ≫ T0, mais il n’est pas valable à basses températures. Le vrai comportement à basses températures dépend du type de particules dont la substance est formée. Il existe deux catégories de particules dont, à basses températures, le comportement est complètement différent du modèle de Maxwell-Boltzmann : (i) Des bosons, avec la propriété qu’un nombre arbitraire de bosons peut occuper le même état quantique. Nous en parlerons au chapitre13. (ii) Des fermions, qui ont la propriété qu’un état quantique donné peut être occupé par au plus un seul fermion. Nous en discuterons aux chapitres suivants. Ici il suffit de mentionner que l’isotope le plus commun de l’hélium ( 4 He) est un boson. Les molécules d’azote et d’oxygène sont également des bosons. Finalement des photons (particules élémentaires qui portent la lumière) sont aussi des bosons. Dans la catégorie des fermions se trouvent les électrons, les positons, les neutrons, et les atomes de 3 He (isotope rare d’hélium). Les figures 29 et 27 montrent respectivement la capacité calorifique expérimentale d’un liquide de bosons ( 4 He) et d’un liquide de fermions (les électrons dans le métal URu2Si2). C’est clair que, dans ces deux cas la capacité calorifique tend vers zéro pour T → 0, ce qui est contraire au modèle d’un gaz parfait ! Dans le cas de l’hélium le comportement à 2.2 K est très spécial : CV passe par un maximum très étroit. On est tenté de supposer qu’à cette température l’hélium se solidifie (la température de liquefaction est 4.2 K). Or, l’hélium ne se solidifie à aucune température, sauf sous haute pression ! En effet à 2.2 Kelvin l’hélium passe d’une phase liquide normale (T > 2.2K) à une phase superfluide (T < 2.2K). La dernière est caractérisée par l’absence totale de frottement. 92 T0
Résultats importants du chapitre 11 • Le modèle classique d’un gaz n’est pas valable à basses températures. Une température caractéristique apparaît, T0 en-dessous de laquelle l’entropie devient négative et divergente à la limite de la température du zéro absolu. La théorie classique ne permet pas de calculer T0, cela n’est possible qu’à l’aide de la mécanique quantique. • C’est possible de déduire toutes les fonctions thermodynamiques à partir de la relation µ(N, V, T ) • Nombre d’occupation Maxwel-Boltzmann : nMB(ɛ) = e (−ɛ+µ)/(kBT ) • Le modèle de Maxwell-Boltzmann donne une description microscopique et statistique d’un gaz, et il correspond au modèle du gaz parfait. • A basse température le modèle de Maxwell-Boltzmann débouche sur des contradictions avec le troisième principe de la thermodynamique. Dans cette limite il faut tenir compte de la nature fermionique ou bosonique des particules qui constituent le gaz. 93
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