Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

Figure 12 – Potentiel chimique du gaz parfait en fonction de la température
connaissons toujours pas la relation exacte entre e0 et n. Nous l’aimerons bien obtenir, car
cela nous permettrai d’en déduire la relation qui donne explicitement l’énergie interne en
fonction de tous les paramètres extensifs, c’est-à-dire de N, V , et de S. En effet la relation
entre e0 et n se laisse obtenir en se rendant compte que la définition 6.24b pour la pression
doit donner la loi du gaz parfait comme résultat ! Examinons donc les conséquences :
p
T
∂S = = ∂V E,N NkB
γ−1
∂{ln E−ln N−ln e0}
∂V
= − NkB ∂ ln e0 −N
γ−1 ∂n V 2 = n2kB ∂ ln e0
γ−1 ∂n
E,N
= − NkB
γ−1
∂ ln e0(N/V )
∂(N/V )
La fonction e0(n) doit être construit ainsi, qu’au même temps :
p
T
= nkB
En combinant les deux expressions pour la pression nous obtenons
n2kB ∂ ln (e0)
γ − 1 ∂n = nkB ⇒
∂ ln (e0)
∂n
⇒ ln (e0) = ln(ρ) + (γ − 1) ln(n)
= γ − 1
n
· ∂(N/V )
∂V
où ln(ρ) est une constante qui ne dépend ni de V , ni de N ni de S. Cette expression
montre que e0 dépend de N et V de la manière
γ−1 N
e0(N/V ) = ρ
V γ−1
N
(6.25)
En combinant cette explression avec la relation 6.19 pour S(E, V, N) nous obtenons l’equation
d’état
S(E, V, N) = NkB
γ − 1 ln
γ−1 EV
ρN γ
(6.26)
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