Thermodynamique (2004-2010). - Université de Genève

∂S
∂T
≡ p Cp
∂V
∂p
T
∂S
∂p
T
∂S (1a) T ∂T
∂V
≡ −V κT (2a)
≡ V CV
∂V (1b) ∂V
≡ V α (1c) = − T ∂T p ∂T S CV κT
αT
∂p
S
∂S
= −V α (3a)
≡ −V κS (2b)
∂p
∂T
∂p =
V
CV κT
∂S (3b) αT ∂V
= S Cp
V αT
= p Cp
(2c)
∂p
∂T
∂S (3c) V αT ∂V
= V α
κT
= T α
κT
Table 7.6
Les 12 coefficients thermoélastiques ayant un rapport avec p, V , S, et T . Dans ces
expressions N est fixe.
Les 5 coefficients thermo-élastiques ne sont pourtant pas indépendants les uns des
autres : Dans ce chapitre nous considérons des situations avec N fixe, donc l’équation
d’état est une relation réliant 3 fonctions d’état indépendantes (par exemple p, V , et T ).
Par conséquent le nombre de coefficients indépendants pour en exprimer les dérivés est
aussi 3. Forcément 2 relations réliant les 5 Cp,CV , α, κT , et κS doivent exister. Les voici :
CV
Cp
CV
Cp − CV =
= κT
κS
T V α2
Preuve de la relation 7.3 :
∂S
∂T =
p
∂S
∂V
∂V
T ∂T +
p
∂S
∂T ⇒ Cp = CV + T
V
∂S
∂V
∂V
T ∂T ⇒
p
Cp
= 1+
CV
∂T
∂S
∂S
V ∂V
T
Nous substituons pour ∂V
la relation ∂T p ∂V
= − ∂T p ∂V
∂p
∂p afin d’obtenir
∂T
T
V
Cp
= 1 −
CV
∂T
∂S
∂V
∂p
∂S
V ∂V
T ∂p
T ∂T
V
Nous simplifons cette expression à l’aide de ∂T
∂S = − ∂S V ∂V T ∂T
avec le résultat
∂V S
Cp
= 1 + ∂T
∂V
∂p
=
∂V ∂p ∂T
∂V
∂p
+
∂p ∂V
∂p
∂T
∂T ∂V
S
Avec la règle de la chaîne il suit
Cp
CV
T
= ∂V
∂p
et avec les définitions de κS et κT : Cp
CV
V
T
∂p
∂V
S
κT
T
T
= ∂V /∂p| T
∂V /∂p| S
κT = , ben voilà.
κS
54
V
S
(1d)
(2d)
(3d)
(7.3)
(7.4)
∂V
∂T
p