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Sinistri, che eccedono la soglia OP, hanno distribuzione di Pareto di parametro α, se
la probabilità che un sinistro X sia compreso nell’intervallo infinitesimale x≤X≤x+dx
è pari a:
α ⋅OP
α
⋅ x
−α
−1
il che equivale a richiedere che la funzione di densità dei sinistri sia data da:
dx
α
f ( x)
= α ⋅ OP ⋅ x
−α
−1
Con funzione di distribuzione di Pareto indicheremo quindi la funzione così definita:
F
( x)
P(
Χ ≤ x)
= = ∫
x
α
α −α
−1
⎡OP⎤
α ⋅ OP ⋅ y dy = 1−
⎢ ⎥
⎣ x
OP
⎦
dove OP, che per quanto detto in precedenza è il punto di osservazione, deve risultare
00.
Il grafico seguente illustra la funzione di distribuzione di Pareto per tre valori del
parametro α, in particolare la curva gialla corrisponde ad α pari a 0,2, la blu ad α pari
a 1 ed infine la curva rossa è tracciata con α=1,77.
Figura 31 – Funzioni di distribuzione di Pareto per differenti α
Vediamo adesso come è possibile stimare il parametro di Pareto, α. Assumendo di
avere a disposizione n sinistri, x1,…,xn, che eccedono OP, il parametro α che meglio
approssima la funzione di distribuzione empirica definita dalla statistica a
disposizione, è ricavabile attraverso la stima di massima verosimiglianza come segue:
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