(Fac-simile frontespizio tesi di laurea specialistica) - Scor

ˆα =
n
∑
i=
1
ln
n
=
( xi
) − nln(
OP)
∑
n
i=
1
n
⎛ xi
ln⎜
⎝ OP
Nel nostro caso, la stima di α fornisce un valore del parametro pari a 1,77, la cui
distribuzione di Pareto corrispondente è stata raffigurata in rosso nel precedente
grafico. Nell’esempio, per quanto detto, avremo dunque che la probabilità che la
perdita derivante da un sinistro sia inferiore o uguale ad un importo x sarà pari a:
P
( Χ ≤ x)
⎡50
= 1−
⎢
⎣ x
. 000
In realtà dobbiamo fare attenzione al fatto che, avendo assunto OP pari a 50.000,
niente è noto in riferimento ad i sinistri di importo inferiore, per cui la probabilità
rappresentata è più propriamente la probabilità che un sinistro, la cui perdita
sappiamo eccedere il valore di 50.000, provochi danni non inferiori all’importo x.
Alcune osservazioni:
• l’observation point o OP definisce il più piccolo sinistro preso in
considerazione dell’analisi del modello e, nel pricing di trattati excess of loss,
coincide spesso con la priorità o altrimenti con il più piccolo sinistro
registrato;
• è stato osservato che il parametro di Pareto, α, statisticamente assume valori
differenti a seconda delle classi di rischio trattate, in particolare per descrivere
distribuzioni del rischio incendi varia spesso tra 1,5 e 2,5, mentre per la
modellizzazione di sinistri catastrofici il suo valore è circa 1 (o anche minore,
quindi tra 0 e 1).
Il passo successivo nella costruzione di un modello capace di rappresentare la
struttura di un trattato XL consiste nel riprodurre l’effetto che si genera con
l’introduzione di una portata sulla funzione di distribuzione; per far questo, si ricorre
all’utilizzo della cosiddetta funzione di distribuzione troncata, ottenuta assegnando
probabilità pari ad 1 all’eventualità che il sinistro sia inferiore all’ammontare
massimo stabilito. In particolare, per il modello di Pareto la funzione di distribuzione
troncata sarà data da:
⎤
⎥
⎦
1.
77
⎞
⎟
⎠
77