Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

1.3.1 Ortogonalità e basiDue vettori il cui prodotto scalare sia nulla si definiscono ortogonali. Se talivettori hanno anche norma uguale ad uno vengono detti ortonormali. È faciledimostrare che due vettori ortogonali sono linearmente indipendenti: se ⃗v e ⃗wsono ortogonali, la condizione di indipendenza lineare è data da:a⃗v + b ⃗w = 0 ⇔ a = b = 0Moltiplicando scalarmente per ⃗v:a〈⃗v|⃗v〉 + b〈⃗v| ⃗w〉 = a‖⃗v‖ = 0 ⇒ a = 0Analogamente, moltiplicando scalarmente per ⃗w:a〈 ⃗w|⃗v〉 + b〈 ⃗w| ⃗w〉 = b‖ ⃗w‖ = 0 ⇒ b = 0È quindi possibile costruire una base di un generico spazio vettoriale V utilizzandovettori ortogonali. Se si scelgono vettori di norma unitaria si ottiene quellache viene detta una base ortonormale di vettori:O = {⃗v 1 . . . ⃗v n } | 〈⃗v i |⃗v j 〉 = δ ijLa base canonica, definita per uno spazio vettoriale a 3 dimensioni nella 1.2,è una base ortonormale, come è facile verificare. Le basi ortonormali sonoestremamente comode in quanto la rappresentazione di vettori e applicazionilineari diventa molto semplice. Utilizzando nuovamente la base canonica, perun vettore⃗v = v 1 ⃗e 1 + v 2 ⃗e 2 + v 3 ⃗e 3si possono determinare le componenti v 1 , v 2 , v 3 semplicemente moltiplicandoscalarmente per i tre vettori della base: ad esempio, moltiplicando per ⃗e 1 :〈⃗e 1 |⃗v〉 = v 1 〈⃗e 1 |⃗e 1 〉 + v 2 〈⃗e 1 |⃗e 2 〉 + v 3 〈⃗e 1 |⃗e 3 〉 = v 1Si ottiene procedendo analogamente che⎛v = ⎝ v ⎞ ⎛1v 2⎠ = ⎝ 〈⃗e ⎞1|⃗v〉〈⃗e 2 |⃗v〉 ⎠v 3 〈⃗e 3 |⃗v〉e quindi, in generale, la componente di un vettore ⃗v lungo un elemento ⃗e j diuna base ortonormale sarà:e dunquev j = 〈⃗e j |⃗v〉⃗v =n∑v j ⃗e j =j=1n∑⃗e j 〈⃗e j |⃗v〉 (1.8)j=1La matrice di rappresentazione di un’applicazione lineare può essere ottenutanello stesso modo: partendo dalla definizione 1.1:n∑f(⃗e i ) = f ji ⃗e jj=19