Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

Figura 3.1: Plot della funzione sin2 (xt)x 2 tper valori del parametro t di 1, 4, 10, 20, 40In tale limite, dunque, la funzione f(x; t) si comporta come una delta di Dirac,ovverosin 2 (xt)limt→∞ πx 2 = δ(x)tTale funzione rispetta pure la proprietà di normalizzazione della delta, in quanto,effettuando la sostituzionext = ξ;∫ ∞−∞dξ = tdxdx sin2 (xt)πx 2 t=∫ ∞−∞tdx sin2 (xt)πx 2 t 2= 1 π∫ ∞−∞dξ sin2 ξ)ξ 2 = π π = 1Dunque, supponendo che la perturbazione duri per un tempo sufficientementelungo, l’integrale può essere notevolmente semplificato:∫4Vfi2P (t) = 2 ρE sin2 1 2(E/ − ω)t(E/ − ω) 2 dEPonendoRξ = 1 1(E/ − ω) dξ = dE2 2e moltiplicando sopra e sotto per πt: si ottiene:EssendoSi ottiene∫P (t) =R2πV 2fi tδ(ξ) = δ(E − E fi )ρ(E) sin2 ξtπξ 2 t dξ = ∫R2πV 2fi tρ(E) δ(ξ)dξP (t) = 2π t V 2fi ρ(E fi ) (3.17)Definendo la costante cinetica di transizione come la derivata temporale della3.17, si ottienek = 2π V 2fi ρ(E fi ) (3.18)La 3.18 viene detta Regola d’oro di Fermi.48