Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

Capitolo 1Introduzione al formalismomatematicoIn questo capitolo verranno riepilogati o presentati alcuni risultati basilari dell’algebralineare. Procedendo per analogia, senza dare dimostrazioni né scenderenei dettagli, verranno introdotte alcune definizioni e proprietà relative agli spazidi funzioni e agli operatori. Lo scopo di questo capitolo non è certo quellodi trattare in modo formale o rigoroso i fondamenti matematici della meccanicaquantistica, ma di fornire in modo operativo e pratico degli strumenti difondamentale importanza per poter “mettere le mani” sulla teoria. Per unatrattazione sistematica dell’algebra lineare, dell’analisi funzionale e dell’algebradegli operatori si rimanda a testi specifici.1.1 Vettori e CoordinateSi consideri lo spazio Euclideo, ovvero lo spazio geometrico tridimensionale.Fissato un punto O qualsiasi, detto origine, qualsiasi altro punto dello spaziopuò essere individuato da un vettore ⃗r che lo congiunge ad O. Sia V l’insiemedi tutti questi vettori: esso ha delle proprietà che lo rendono quello che vienedetto uno spazio vettoriale:• ⃗r, ⃗s ∈ V ⇒ ⃗t = ⃗r + ⃗s ∈ V, ovvero la somma di due vettori è un terzovettore che appartiene allo spazio• a ∈ R, ⃗v ∈ V ⇒ ⃗w = a⃗v ∈ V, ovvero moltiplicando un vettore per unnumero reale qualsiasi (geometricamente tale operazione cambia la lunghezzadel vettore) si ottiene nuovamente un vettore appartenente allospazio vettoriale.A partire da queste due proprietà si possono fare alcune considerazioni: perdefinire uno spazio vettoriale, infatti, è necessario che siano definiti tre oggetti:1. un insieme di numeri (scalari) a cui devono appartenere i coefficienti coni quali è possibile moltiplicare i vettori 11 tale insieme, in particolare, dev’essere un campo: esempi di campi sono i numeri reali Re i numeri complessi C4