Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

L z (L − ψ) = L − (L z ψ) + [L z , L − ]ψ = L − (mψ) − L − ψ = (m − 1)L − ψTramite i due operatori appena definiti è possibile infine dare un’espressionemolto utile di L 2 . Infatti:Quindi:L − L + = (L x + iL y )(L x − iL y ) = L 2 x + L 2 y − L zL 2 = L − L + + L 2z + L zpoiché m ≤ l si avràL − L + |k l , l〉 = 0 = (L 2 − L 2z − L z )|k l , l〉 = ( 2 k l − 2 l 2 − 2 l)|k l , l〉Ne segue chek l = l 2 + l = l(l + 1)Si può finalmente passare allo studio dell’equazione su L 2L 2 P l,m (θ)e imφ = 2 l(l + 1)P l,m (θ)e imφLa soluzione analitica di questa equazione può essere facilitata considernadol’espressione:( ∂L + Y l,l (θ, φ) = e iφ ∂θ + icos θ )∂e ilφ P l,l (θ) = 0sin θ ∂φda cui:1P (θ)e quindi:dP (θ)dθP l (θ) = C sin l θi(l+1)φ dP (θ)= e + i cos θdθ sin θ P (θ)(ilei(l+1)φ )= l cos θsin θ = l d ln(sin θ)dθDove C è una costante d’integrazione, da determinare imponendo la condizionedi normalizzazione. Le funzioni Y l,m (θ, φ) si dicono armoniche sferiche; si riportal’espressione delle prime, ricordando cheY l,−m (θ, φ) = (−1) m Y ∗l,m(θ, φ)Y 0,0 (θ, φ) = √ 14π√3Y 1,1 (θ, φ) = − sin θeiφ8π√3Y 1,0 (θ, φ) =4π cos θY 2,2 (θ, φ) = 1 √154 2π sin2 θe 2iφ√15Y 2,1 (θ, φ) = − sin θ cos θeiφ8π√ ( 5 3Y 2,0 (θ, φ) =4π 2 cos2 θ − 1 )238