Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

e per una base ortonormale le componenti di una funzione sarannoc n = 〈f n |ϕ〉Come per i vettori geometrici, è possibile distinguere fra vettori “astratti”e vettori rappresentati. È comodo introdurre la notazione di Dirac, cheprevede di scrivere i vettori astratti sotto forma di “ket”, ovvero scrivereil vettore f come |f〉. Con una base ortonormale, dunque, si ottiene:∞∑∞∑|ϕ〉 = |f n 〉c n = |f n 〉〈f n |ϕ〉n=1n=12. La base dello spazio non è numerabile. In questo caso si può pensare diassociare un indice continuo alle funzioni di base: si tratta, in pratica, di“passare al continuo” le espressioni già viste, sostituendo le serie con degliintegrali. In questo caso la base sarà un insieme∫{f µ } µ∈R | ∀ ϕ ∈ H ϕ = dµc µ f µIn questo caso, per definire una base ortonormale, è necessario introdurrela normalizzazione a Delta di Dirac: una base continua sarà quindiortonormale sedove:〈f µ |f ν 〉 = δ(µ − ν)• δ(x − x 0 ) = 0∀x ≠ x 0• ∫ ∞−∞ dxf(x)δ(x − x 0) = f(x 0 )• ∫ ∞−∞ dxδ(x − x 0) = 1Un esempio di base continua è fornito dalle funzionif k (x) = 1 √2πe ikx ,k ∈ RInfatti si può dimostrare che〈f k |f k ′〉 = 12π∫ ∞−∞e −i(k−k′ )x dx = δ(k − k ′ )Rispetto a questa base le componenti delle funzioni non sono altro che lecomponenti della trasformata di Fourier. In una dimensione (si sottointendonoi limiti di integrazione, che sono sempre infiniti):∫c k =dx 1 √2πe −ikx ϕ(x) = f(k)Anche in questo caso, la funzione non rappresentata si potrà scrivere come∫∫|ϕ〉 = dµ|f µ 〉c µ = dµ|f µ 〉〈f µ |ϕ〉14