Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

La prima porta ad una soluzione che diverge per r che tende a zero, mentre laseconda porta aR n,l (r) = U n,l(r)r= a 0 r lAnalizzando il comportamento della funzione radiale per r grande si possonoscartare nell’hamiltoniano i termini infinitesimi. Si arriva quindi ad 2 U(r)dr 2= −2EU(r)posto α 2 = −2E, la soluzione sarà del tipoU(r) = Ae −αrdove si è scartata la soluzione divergente. Combinando le informazioni ottenute,la forma più generale della soluzione saràU n,l (r) = ∑ j≥0a j r j+l+1 e −αrSi può passare quindi a sostituire la soluzione proposta nell’equazione radiale.Denotando con l’apice la derivata rispetto ad r:U ′ = ∑ ja j e −αr [(j + l + 1)r j+l − αr j+l+1 ]U ′′ = ∑ ja j e −αr [(j + l + 1)(j + l)r j+l−1 − 2αr j+l+1 + α 2 r j+l+1 ]Sostituendo:∑[a j e −αr − 1 2 (j + l + 1)(j + l)rj+l−1 + αr j+l+1 − α22 rj+l+1 +j+]l(l + 1)r j+l−1 − Zr j+l − Er j+l+1 = 02Ricordando la definizione di α il terzo e il sesto termine fra parentesi scompaiono;cambiando gli indici in modo da raccogliere r j+l :∑{ 1r j+l e −αr 2 a j+1[l(l + 1) − (j + l + 2)(j + l + 1)]+j}+ a j [α(j + l + 1) − Z] = 0Poiché tale uguaglianza deve valere per ogni potenza di r:Maa j+1a jα(j + l + 1) − Z= 2(j + 1)(j + 2l + 2)limj→∞a j+1a j= 2αj + 1 ⇒ a n ∼ e 2αr 40