Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

1.1.2 Rappresentazione di un vettore: le coordinateSi consideri di nuovo lo spazio euclideo E. Sia B una base, che sarà compostada tre vettori linearmente indipendenti (come, ad esempio, i tre versori):B = {⃗v 1 , ⃗v 2 , ⃗v 3 }Come detto nella sezione precedente, qualsiasi vettore dello spazio potrà esserescritto come una combinazione lineare dei vettori della base, ovvero:∀ ⃗r ∈ E ∃ a, b, c ∈ R | ⃗r = a⃗v 1 + b⃗v 2 + c⃗v 3Dunque conoscendo la terna di numeri (a, b, c) e la base B è possibile identificarein maniera univoca il vettore ⃗r. I tre numeri così individuati vengono detticoordinate o componenti. Si definisce in questo modo un vettore⎛ ⎞r =⎝ a bc⎠che rappresenta il vettore geometrico ⃗r rispetto alla base B. È di estrema utilitàpoter definire le coordinate di un vettore e lavorare con r piuttosto che con ilvettore geometrico in quanto in questo modo si ha a che fare con dei numeri,che sono estremamente più facili da trattare rispetto ad un ente geometrico!1.2 Applicazioni lineari e loro rappresentazioneSi definisce applicazione lineare un’applicazione f con le seguenti proprietà: seV e W sono spazi lineari definiti sul campo dei numeri reali o complessi:f : V → Wf(⃗v + ⃗w) = f(⃗v) + f( ⃗w)∀ ⃗v, ⃗w ∈ Vf(λ⃗v) = λf⃗v∀ ⃗v ∈ V, λ ∈ R(C)Si noti come le applicazioni lineari mantengono la struttura di uno spazio vettoriale:i vettori prodotti d f formano a loro volta uno spazio vettoriale, comeè facile verificare. Quando il dominio e il codominio della funzione coincidono(V = W) l’applicazione lineare viene detta endomorfismo; d’ora in avanti tuttele applicazioni lineari prese in considerazioni saranno endomorfismi. Anche inquesto caso è utile lavorare con dei numeri invece che con delle funzioni definitesu dei vettori: per poter rappresentare un’applicazione lineare è necessario perònotare che per definirla completamente è sufficiente conoscere la sua azione suglielementi di una base. Infatti, se B = {⃗v 1 , . . . , ⃗v n } è una base di V:e ⃗w è unvettore qualsiasi nello spazio vettoriale, sarà possibile scrivere:n∑⃗w = a 1 ⃗v 1 + . . . + a n ⃗v n = a i ⃗v iQuindi:i=1f( ⃗w) = f(a 1 ⃗v 1 + . . . + a n ⃗v n ) = a 1 f(⃗v 1 ) + . . . + f(⃗v n ) =6n∑a i f(⃗v i )i=1