Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

ˆp → ˆp· ⇒ |ψ〉 → ψ(k)Definito il concetto di rappresentazione si può dire qualche cosa sull’integrabilitàa quadrato della funzione d’onda: accade che essa non stia in L 2 quando lasi rappresenta rispetto alla base di autofunzioni di un operatore che non è bendefinito ad esempio perché il suo valore di aspettazione è completamente indeterminato.Un esempio classico di questa situazione è fornito dal problema dellaparticella libera (vedi): si può vedere che in questo caso la quantità di moto èperfettamente nota, in quanto la funzione d’onda è autostato di ˆp; ne risultad’altra parte che le autofunzioni in rappresentazione di Schroedinger sono delleonde piane, che hanno modulo quadrato pari ad 1 in tutto lo spazio e quindisono ovviamente non integrabili. Questo fatto si concilia con l’interpretazionedi Born del modulo quadro della funzione d’onda in quanto nel momento in cuil’osservabile posizione è completamente indeterminato non ha senso chiedersicon che probabilità una particella si trovi in una certa regione.A partire da posizione e momento si possono costruire tutti gli operatori dellameccanica sfruttando la definizione classica, grazie al principio di corrispondenza,ad esempio:T = p22m → 12mV Coul = e2r → e2r ·(i ∂ ) 2= − 2∂x 2mUn operatore di particolare importanza è quello associato all’energia, dettoanche Hamiltoniano:E = T + V → H = ˆT + ˆV2.2.2 Il terzo postulato e il probabilismo della meccanicaquantisticaIl secondo principio richiede che le autofunzioni (o autostati) degli operatoriche rappresentano gli osservabili formino un insieme completo, ovvero che unqualsiasi stato possa essere scritto come loro combinazione lineare. Limitandosial caso discreto:∞∑Ψ(x) = c j φ j (x) (2.17)dove valej=1Ωφ j = ω j φ jOra, volendo misurare la proprietà rappresentata da Ω bisogna chiedersi qualisono i valori possibili che la misura può restituire. Applicando il principio delvalor medio (terzo postulato) e supponendo che la funzione sia normalizzata:〈Ω〉 = 〈Ψ|Ω|Ψ〉 =∂ 2∂x 2∞∑〈c j φ j (x)|Ω|c k φ k (x)〉 =j,k=1∞∑j,k=1ω k c ∗ j c k 〈φ j |φ k 〉26