Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

tale che, per ogni coppia di vettori ⃗v e ⃗w〈⃗v| ⃗w〉 = v ∗ 1w 1 + v ∗ 2w 2 + . . . + v ∗ nw n =n∑vj ∗ w jdove l’asterisco denota il complesso coniugato e le componenti dei due vettori siintendono calcolate rispetto ad una qualsiasi base di V. Utilizzando il prodottoriga per colonna e definendo il vettore trasposto coniugato (aggiunto)v † =⎛⎜⎝v 1..v n⎞†⎟⎠= (v ∗ 1 . . . v ∗ n)j−1il prodotto scalare dei due vettori può essere scritto come〈⃗v| ⃗w〉 = v † wIl prodotto scalare canonico gode di alcune importanti proprietà:〈⃗v| ⃗w + ⃗u〉 = 〈⃗v| ⃗w〉 + 〈⃗v|⃗u〉 (1.3)〈⃗v|λ ⃗w〉 = λ〈⃗v| ⃗w〉 (1.4)〈⃗v + ⃗w|⃗u〉 = 〈⃗v|⃗u〉 + 〈 ⃗w|⃗u〉 (1.5)〈λ⃗v| ⃗w〉 = λ ∗ 〈⃗v| ⃗w〉 (1.6)〈 ⃗w|⃗v〉 = 〈⃗v| ⃗w〉 ∗ (1.7)∀ ⃗v, ⃗w, ⃗u ∈ V,∀ λ ∈ CLe prime due proprietà dicono che il prodotto scalare è lineare nella secondavariabile, la terza e la quarta che è antilineare nella prima variabile. Un’applicazionecon tutte queste proprietà viene detta sesquilineare. La proprietà 1.7viene dettà Hermitianità. Questo prodotto scalare è definito positivo, ovvero〈⃗v|⃗v〉 ≥ 0 ∀ ⃗v ∈ Vinoltre l’unico vettore per cui il prodotto scalare con se stesso è zero è il vettorenullo. Infatti:n∑n∑〈⃗v|⃗v〉 = vj ∗ v j = |v j | 2 ≥ 0ej=1j=1n∑|v j | 2 = 0 ⇔ v j = 0 ∀ jj=1Questa proprietà permette di associare ad ogni vettore una norma, definita come‖⃗v‖ = √ 〈⃗v|⃗v〉Nello spazio euclideo questa norma coincide con la lunghezza geometrica delvettore.8