Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

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L 2i = ɛ ijk r j p k ɛ imn r m p n = (δ jm δ kn − δ jn δ km )r j p k r m p n == r j p k r j p k − r j p k r k p jUtilizzando le regole di commutazionep k r j = [p k , r j ] + r j p k = −iδjk + r j p k∑p k r k = −3i + r k p kkl’espressione di cui sopra diviene:L 2i = r j (−iδ jk )p k + r 2 j p 2 j + 3ir j p j − r j r k p k p j == 2ir j p j + r 2 j p 2 j − r j r k p k r jSi può manipolare ulteriormente l’ultimo termine:Quindi:r j r k p j p k = r j r k p j p k = r j (p j r k + [r j , p k ])p k = r j p j r k p k + r j (iδ jk )p k =L 2ie infine:Poiché= r j p j r k p k + ir j p j= ir j p j + r 2 j p 2 j − r j p j r k p kL 2 = irp + r 2 p 2 − rprp = 2 r∇ − 2 r 2 ∇ 2 + 2 r∇r∇r∇ = r ∂ ∂rr∇r∇ = r ∂ ∂r+ r2∂2∂r 2l’espressione di L 2 diventa:(L 2 = 2 r ∂ ∂r − r2 ∇ 2 + r ∂ ) (∂2+ r2∂r ∂r 2 = 2 2r ∂ )∂r − r2 ∇ 2 + r 2 ∂2∂r 2e dunque:∇ 2 = − L 2 2 r 2 + ∂2∂r 2 + 2 ∂r ∂r• gli indici i,j,k,... si riferiscono ad una coordinata. Possono dunque voler dire x,y o z• quando due indici vicini sono uguali si sottointende una sommatoria, ad esempio:r k p k = r x p x + r y p y + r z p z• la componente i-esima di un prodotto vettore viene scritta con l’ausilio del tensoretotalmente antisimmetrico di rango tre ɛ ijk . Ad esempio:(⃗a ∧ ⃗ b) x = ɛ xyza yb z = a yb z − b ya zVale la proprietàɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km − δ jm δ kl35
L’equazione di Schroedinger si può così scrivere:( {− 2 ∂22µ ∂r 2 + 2 )∂− L 2 }(θ, φ)r ∂r 2µr 2 + V (r) Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)Moltiplicando ambo i membri per 2µr 2 :( ∂{ 2 r 2 2∂r 2 + 2 ) }∂+ 2µr 2 V (r) − L 2 Ψ(r, θ, φ) = 2µr 2 EΨ(r, θ, φ)r ∂rRiarrangiando:{ 2 r 2 ( ∂2∂r 2 + 2 r)}∂+ 2µr 2 V (r) − 2µr 2 E Ψ(r, θ, φ) = L 2 Ψ(r, θ, φ)∂rSi nota che il membro di destra dipende solo da r, mentre quello di sinistra dipendesolo dalle variabili angolari; viene quindi naturale fattorizzare la funzioned’onda in una parte radiale ed una angolare:Ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ)Sostituendo:Y (θ, φ)r 2 { 2 ( ∂2∂r 2 + 2 rdividendo ambo i membri per R(r)Y (θ, φ):r 2 ( ∂{ 2 2R(r) ∂r 2 + 2 ∂r ∂r)}∂+ 2µV (r) − 2µE R(r) = R(r)L 2 Y (θ, φ)∂r)+ 2µV (r) − 2µE}R(r) =1Y (θ, φ) L 2 Y (θ, φ)Affinché l’equazione abbia soluzioni entrambi i membri devono essere uguali aduna costante a: dividendo nuovamente l’equazione radiale per 2µr 2 si ottiene:⎧⎪⎨ L 2 (θ, φ)Y (θ, φ) = aY (θ, φ)⎪⎩{− 22µ(∂ 2∂r 2+ 2 r)}∂∂r+ V (r) − a2µrR(r) = ER(r)2Equazione angolare Nell’affrontare la soluzione dell’equazione angolare ènecessario discutere alcune importanti proprietà di commutazione dell’operatoremomento angolare e delle sue componenti. Ovviamente L 2 commuta conl’hamiltoniano, inoltre:[L 2 , L x ] = [L 2 x , L x ] + [L 2 y , L x ] + [L 2z , L x ][L 2 x , L x ] = 0[L 2 y , L x ] = L y L y L x − L x L y L y = L y ([L y , L x ] + L x L y )−− ([L x , L y ] + L y L x )L y = −iL y L z − iL z L y[L 2z , L x ] = L z L z L x − L x L z L z = L z ([L z , L x ] + L x L z )−− ([L x , L z ] + L z L x )L z = iL z L y + iL y L z36
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