Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

dimostrato - oscillano nel piano perpendicolare a tale direzione. La funzioneg(z − ct) in questo caso sarà:g(z − ct) = e i ω c (z−ct)o, recuperando tutte le componenti, più in generale:⎧⎪⎨ ⃗E(⃗r, t) = E ⃗ 0 e i(⃗ k·⃗r−ωt)⎪⎩⃗B(⃗r, t) = ⃗ B 0 e i(⃗ k·⃗r−ωt)(3.7)Si noti che le frequenze costituiscono un’ottima base nel continuo; in particolarela componente monocromatica di un’onda può essere vista come la trasformatadi Fourier di un opportuno segnale. Le onde piane monocromatichesi comportano in maniera estremamente semplice nei confronti degli operatoridifferenziali:⃗∇ · ⃗E(⃗r, t) = i ⃗ k · ⃗E(⃗r, t)⃗∇ ∧ ⃗ E(⃗r, t) = i ⃗ k ∧ ⃗ E(⃗r, t)∂ ⃗ E∂t = −iω ⃗ EImponendo che i campi verifichino le equazioni di Maxwell:⃗∇ · ⃗E(⃗r, t) = 0 = i ⃗ k · ⃗E(⃗r, t) ⇒ ⃗ E ⊥ ⃗ k⃗∇ · ⃗B(⃗r, t) = 0 = i ⃗ k · ⃗B(⃗r, t) ⇒ ⃗ B ⊥ ⃗ kDunque si tratta di onde trasverse (i campi oscillano su un piano perpendicolarea quello di propagazione), come si era detto sopra; inoltre:⃗∇ ∧ ⃗ E(⃗r, t) = i ⃗ k ∧ ⃗ E(⃗r, t) = i ω c ⃗ B⃗∇ ∧ ⃗ B(⃗r, t) = i ⃗ k ∧ ⃗ B(⃗r, t) = −i ω c ⃗ EDalle ultime due equazioni, semplificando, si ricava{⃗k ∧ E ⃗ =ω ⃗ cB⃗ k ∧ B ⃗ = −ω ⃗ cEQueste due equazioni implicano che ⃗ E e ⃗ B sono perpendicolari fra di loro e,dati i segni, ⃗ E, ⃗ B e ⃗ k formano una terna ortogonale destrorsa. Infine, perché ilsistema abbia soluzioni, deve valere l’ulteriore condizione| ⃗ k| = ω cche implica a sua volta che i campi abbiano lo stesso modulo:| ⃗ E| = | ⃗ B|44