Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

4.5 Accoppiamento spin - orbitaIl caso spesso più interessante di interazione di tipo magnetico è quello in cui lospin dell’elettrone si accoppia al campo magnetico generato dal moto orbitaledell’elettrone stesso. Si tratta di un effetto relativistico: utilizzando il principiodi corrispondenza e ragionando per analogia con la meccanica classica, non siriesce a darne una descrizione precisa, come si vedrà in seguito. Dall’elettrodinamicaclassica, una particella carica che si muove con velocità ⃗v in un campoelettrico ⃗ E risente di un campo magnetico 4⃗B = ⃗ E ∧ ⃗vc 2In particolare, se il campo elettrico ha simmetria radiale (come nel caso degliatomi), esso si potrà scrivere in funzione del potenziale elettrico φ:e quindi:⃗E = − ⃗r r∂φ∂r⃗B = − 1 ∂φ1 ∂φ1 ∂φrc 2 ⃗r ∧ ⃗v = −∂r mrc 2 m⃗r ∧ ⃗v = −∂r mrc 2 ∂r ˆldove ˆl è l’operatore momento angolare. Dalla 4.4 si ha che il momento magneticodovuto allo spin vale ⃗m = g e γ e ŝ, dunque, classicamente, l’energia dell’interazionedovrebbe essereH so = −⃗m · ⃗BTale previsione risulta ovviamente sbagliata, in quanto non tiene conto del fattoche l’accoppiamento spin orbita è un effetto relativistico: applicando l’elettrodinamicain forma covariante si trova un valore che è esattamente la metà diquello classico. Dunque:H so = − 1 2 ⃗m · ⃗B = 1 2 g eγ e1mrc 2 ∂φ∂r ˆl · ŝRicordando che g e = 2 e che γ e = −e/2m e :Ponendosi ottieneH so = −e ∂φ2m 2 c 2 r ∂r ˆl · ŝξ(⃗r) = ξ(|⃗r|) = ξ(r) = −e ∂φ2m 2 c 2 r ∂rH so = ξ(r)ˆl · ŝ4 per dimostrarlo è necessario utilizzare le trasformazioni di Lorentz e la formulazionecovariante dell’elettromagnetismo61