Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

generale, quando l’operatore Hamiltoniano non dipende dal tempo, è inoltre possibileseparare la dipendenza temporale della funzione d’onda da quella spaziale.Scrivendo la funzione d’onda come prodottoΨ(x, t) = ψ(x)θ(t)e inserendola nella 2.16:iψ(x) ∂θ(t)∂t= θ(t)H ψ(x)Dividendo entrambi i membri per ψθ:i 1 dθθ(t) dt = 1ψ(x) H ψ(x)I due membri dipendono uno solo dal tempo, l’altro solo dalla coordinata x:affinché l’equazione sia soddisfatta è quindi necessario che siano entrambi ugualiad una costante E, avendo tale costante la dimensione di un’energia. Dunque:edθdt = − i Eθ(t) ⇒ θ(t) ≡ e−iEt/H ψ(x) = Eψ(x) (2.18)La 2.18 viene detta equazione di Schroedinger indipendente dal tempo, o, piùspesso, semplicemente Equazione di Schroedinger. Essa non è altro che l’equazionead autovalori dell’Hamiltoniano. Lo statoΨ(x, t) = ψ(x)e −iEt/genera una distribuzione di probabilità che non dipende dal tempo, infatti:P = |Ψ(x, t)| 2 = Ψ ∗ (x, t)Ψ(x, t) = ψ ∗ (x)ψ(x)e iEt/ e −iEt/ = |ψ(x)| 2e viene dunque detto stato stazionario.2.3 Sistemi risolubili2.3.1 Particella liberaSi consideri una particella che non è soggetta ad alcun potenziale. L’Hamiltonianoconterrà solo il termine cinetico, e quindi:d 2H = − 22m dx 2L’equazione di Schroedinger sarà quindi:− 2 d 2 ψ2m dx 2 = EψL’energia del sistema sarà sicuramente maggiore di zero, in quanto l’energiacinetica è una grandezza definita positiva. Si tratta di un’equazione differenzialedel secondo ordine, la cui soluzione generale è:√2mEψ(x) ≡ e ±ikx , k =28