Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

Non essendoci potenziali esterni si deve conservare la quantità di moto: l’operatoreˆp commuterà quindi con l’Hamiltoniano, come è facile verificare, e ψ(x)sarà autofunzione anche di ˆp:ˆpψ = −i ddx e±ikx = ±ke ikxL’autovalore è quindi ±k. Il segno dell’autovalore può essere visto come ladirezione di moto della particella: se va verso +∞ k sarà positivo e viceversa.Si noti che l’equazione è quella che descrive un’onda e che quindi la particellalibera è completamente delocalizzata! Come già fatto notare, si tratta di un casoin cui la funzione d’onda non è integrabile a quadrato in quanto la posizione èdel tutto indeterminata.2.3.2 Particella in una scatolaSe il moto della particella è libero ma confinato in una “scatola” lineare di dimensioneL. Questa condizione può essere formalizzata introducendo un potenzialeche presenti una barriera infinita ai bordi della scatola, in particolare:{0 0 ≤ x ≤ LV =∞ x < 0 ∨ x > LLa barriera infinita di potenziale è insuperabile, e dunque la funzione d’ondadovrà annullarsi sia in x = 0 che in x = L. Infatti, scrivendo l’equazione diSchroedinger:− 2 d 2 ψ= (E − V )ψ2m dx2 Si possono distinguere due casi:1. L’energia è maggiore del potenziale (dentro alla scatola)In questo caso si ottiene un’equazione del tipoconψ ′′ = −k 2 ψk =√2mEche ha per soluzioneψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx)2. L’energia è minore del potenziale (per ora supposto uguale a una costanteV )In questo caso si ottiene un’equazione del tipodoveψ ′′ = α 2 ψα =√2m(V − E)29