Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

moltiplicando scalarmente per il vettore ⃗e k :n∑n∑〈⃗e k |f(⃗e i )〉 = f ji 〈⃗e k |⃗e j 〉 = f ji δkj = f kidunque:ej=1f ik = 〈⃗e i |f(⃗e k )〉f(⃗e k ) =n∑f ik ⃗e i =i=1j=1n∑〈⃗e i |f(⃗e k )〉⃗e i (1.9)i=11.4 Teorema spettraleIn questa sezione verranno introdotti due concetti di fondamentale importanzain meccanica quantistica: l’equazione ad autovalori e l’aggiunzione. La trattazionesarà limitata ad una particolare classe di applicazioni lineari, ovvero gliendomorfismi autoaggiunti, che sono di massimo interesse, tuttavia esiste unateoria del tutto generale che non verrà considerata.1.4.1 Aggiunta di un’applicazione lineareSia f un endomorfismo definito in uno spazio vettoriale V. Si definisce aggiuntadi f (si indica con f † l’applicazionef † : V → V | 〈⃗v|f( ⃗w)〉 = 〈f † (⃗v)| ⃗w〉 ∀ ⃗v, ⃗w ∈ VTeorema 1 (Esistenza ed unicità dell’aggiunta) L’applicazione aggiunta esisteed è unicaLa dimostrazione di questo teorema è semplice e si avvale di quanto già visto sullarappresentazione di un’applicazione lineare rispetto ad una base ortonormale.SiaB = {⃗e 1 . . . ⃗e n }è una base ortonormale di V. Se f † esiste, il vettore f † (⃗v) potrà essere rappresentato,usando la 1.8:n∑f † (v) = 〈⃗e i |f † (⃗v)〉⃗e ii=1Sfruttando la 1.7 e la definizione di aggiunta:n∑n∑n∑〈⃗e i |f † (⃗v)〉⃗e i = 〈f † (⃗v)|⃗e i 〉 ∗ ⃗e i = 〈⃗v|f(⃗e i )〉 ∗ ⃗e ii=1i=1Dunque se l’aggiunta esiste è univocamente determinata da questa espressione.Inserendo quanto trovato nella definizione di aggiunta:n∑〈f † (⃗v)| ⃗w〉 = 〈 〈⃗v|f(⃗e i )〉 ∗ ⃗e i | ⃗w〉i=110i=1