Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

6.2.1 I moti di Stretching dell’anidride carbonicaSiano x 1 , x 2 e x 3 le coordinate dei tre atomi della CO 2 . L’energia potenzialeelastica del sistema - considerato armonico - sarà:V = k 2 (x 2 − x 1 − d) 2 + k 2 (x 3 − x 2 − d) 2dove il primo termine è dovuto allo stiramento del primo legame e il secondoa quello del secondo legame; d è la distanza di equilibrio. Introducendo dellecoordinate relative alle posizioni di equilibrio:η 1 = x i − x 0,ie sostituendo:V = k 2 (η 2 − η 1 ) 2 + k 2 (η 3 − η 2 ) 2La matrice Hessiana di tale potenziale sarà⎛K = ⎝ −k 2k −k⎞⎠0 −k kIntroducendo coordinate e costanti di forza massa - pesate:ξ 1 = mη 1 , ξ 2 = Mη 2 , ξ 3 = mη 3(si è posto m = m O e M = m c )⎛H =⎜⎝km− √ kmM0k√mM− √mM2 k M− k0 − √ k kmM mSi tratta ora di diagonalizzare la matrice H, ponendo⎛km⎜− λ − ⎞√ kmM0det(H − λ1) = det ⎝ − √ kmM2 k M − λ − √ k ⎟mM⎠ = 00 − √ k kmM m − λSviluppando il determinante:( ) [( ) ( ) ] ( )k 2k km − λ M − λ m − λ −k2− k2 kmM mM m − λ = 0( ) [( ) ( ) ]k 2k km − λ M − λ m − λ − 2 k2= 0mMLa prima soluzione che si trova è⎞⎟⎠λ 1 = k mSviluppando fra le quadre:( 2kλ 2 − λM + k )= 0m77