Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

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Sfruttando la 1.6 si può portar fuori dal prodotto scalare il fattore 〈⃗v|f(⃗e i )〉 ∗prendendone il complesso coniugato:〈n∑〈⃗v|f(⃗e i )〉 ∗ ⃗e i | ⃗w〉 =i=1Grazie alla 1.5:n∑〈⃗v|f(⃗e i )〉〈⃗e i | ⃗w〉 =i=1n∑〈⃗v|f(⃗e i )〉〈⃗e i | ⃗w〉i=1n∑〈⃗v|〈⃗e i | ⃗w〉f(⃗e i )〉i=1ma il membro destro di questo prodotto scalare non è altro che f( ⃗w), in quantof( ⃗w) = f(n∑〈⃗e i | ⃗w〉⃗e i ) = 〈⃗e i | ⃗w〉f(⃗e i )i=1dunque la dimostrazione è conclusa.Un’applicazione lineare si definisce autoaggiunta sef † = fLa matrice di rappresentazione di un endomorfismo autoaggiunto rispetto aduna base ortonormale è Hermitiana, in quanto:f ij = 〈⃗e i |f(⃗e j )〉 = 〈f † (⃗e i )|⃗e j 〉 = 〈f(⃗e i )|⃗e j 〉 = 〈⃗e j |f(⃗e i )〉 ∗ = f ∗ ji1.4.2 Autovalori e autofunzioniSia f un endomorfismo dello spazio vettoriale V. Un vettore ⃗v diverso dal vettorenullo è un autovettore di f relativo all’autovalore λ sef(⃗v) = λ⃗v (1.10)L’insieme degli autovalori di un’applicazione lineare viene detto spettro di f. Sidefinisce autospazio relativo all’autovalore λ l’insiemeV λ = {⃗v ∈ V | f(⃗v) = λ⃗v}Poiché si richiede che gli autovettori siano diversi dal vettore nullo, affinché λ siaun autovalore è necessario che l’autospazio relativo non contenga solo lo zero!L’equazione ad autovalori 1.10 può essere leggermente manipolata:(f − λ1)⃗v = 0dove 1 è l’identità. Scegliendo una base, è possibile rappresentare tale equazionein forma matriciale:(F − λ1)v = 0si ottiene in questo modo un sistema omogeneo, che può avere soluzioni diverseda v = 0 solo se il determinante della matrice F−λ1 è uguale a zero. Il polinomioP (λ) = det(F − λ1)viene detto polinomio caratteristico. Si può dimostrare che11
• non dipende dalla particolare base scelta• è un polinomio di grado n, dove n è la dimensione dello spazio V• λ j è un autovalore se e solo se P (λ j ) = 0Per trovare gli autovalori, dunque, bisogna cercare le radici del polinomio caratteristico.Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che un polinomio digrado n ha esattamente n radici, contate con la loro molteplicità, in generalecomplesse. Si definisce molteplicità algebrica di un autovalore il numero di voltein cui tale autovalore compare come soluzione dell’equazione P (λ) = 0. Sidefinisce invece molteplicità geometrica di un autovalore la dimensione dell’autospaziorelativo. È possibile dimostrare che la molteplicità geometrica è sempreminore o uguale a quella algebrica. Supponiamo che esista una base dello spazioV composta da autovettori di f:B = {⃗v 1 . . . ⃗v n | f(⃗v j ) = λ j ⃗v j }In questa base la matrice di rappresentazione di f è diagonale: infattif(⃗v j ) = λ j ⃗v j ∀ je dunque⎛⎞λ 1 0 . . . 00 λ 2 0F = ⎜ .⎝.. ..⎟⎠0 λ nQuesta considerazione fornisce un criterio di diagonalizzabilità per un endomorfismo:esso sarà diagonalizzabile se i suoi autovettori formano una base diV, che equivale a dire che ogni autovalore deve avere molteplicità geometricapari a quella algebrica. Esiste una classe di applicazioni lineari che è semprediagonalizzabile:Teorema 1 (Spettrale) Ogni endomorfismo autoaggiunto è diagonalizzabilein una base ortonormale di autovettoriQuesto teorema, di cui non verrà data la dimostrazione, afferma alcuni fattiimportantissimi:• Se un endomorfismo è autoaggiunto è sicuramente diagonalizzabile• I suoi autovettori formano una base ortonormale dello spazio vettoriale dilavoroPiù avanti si vedranno altre proprietà delle applicazioni autoaggiunte fondamentaliper la meccanica quantistca.1.5 Spazi di funzioni e operatoriI concetti riepilogati brevemente nelle scorse sezioni possono essere generalizzatia spazi che non sono costituiti da numeri, come quelli già visti, ma da funzioni.La disciplina che si occupa dello studio di questi ultimi, delle loro proprietà e12
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