Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

infinito; gli autovalori possono inoltre essere una quantità numerabile (spettrodiscreto) oppure non numerabile (spettro continuo), così come è possibile cheesista una parte di spettro discreta ed una continua.Anche per gli operatori autoaggiunti esiste un teorema spettrale, tuttavia lameccanica quantistica pone come postulato il fatto che le loro autofunzioni forminouna base completa dello spazio di Hilbert in cui sono definiti. Questoriporta immediatamente al discorso fatto per la base di H: una scelta naturalesarà quella di adottare le autofunzioni di un operatore Hermitiano 3 . Questofatto è particolarmente evidente considerando due importanti proprietà deglioperatori Hermitiani. Esse verrano dimostrate solo per il caso di un’operatoredotato di spettro discreto, ma possono essere generalizzate al caso continuo.1. Gli autovalori di un operatore Hermitiano sono reali Considerando l’equazioneagli autovaloriΩ|n〉 = ω|n〉Suppondendo che le autofunzioni siano normalizzate (ovvero che 〈n|n〉 =1) 4 e moltiplicando entrambi i membri scalarmente a sinistra per 〈n|:〈n|Ω|n〉 = 〈n|ω|n〉 = ω〈n|n〉 = ωPrendendo il complesso coniugato di ambo i membri:〈n|Ω|n〉 ∗ = ω ∗Ma per definizione di operatore Hermitiano:Dunque:〈n|Ω|n〉 ∗ = 〈n|Ω|n〉 = ωω ∗ = ω ⇒ ω ∈ RQuindi gli autovalori di un operatore Hermitiano sono reali.2. Le autofunzioni di Ω sono ortonormali: Si considerino ora due diversiautostati |n〉 e |m〉, associati a due autovalori differenti ω n e ω m . Entrambisoddisfano l’equazione ad autovalori, dunque:Ω|n〉 = ω n |n〉Ω|m〉 = ω m |m〉Moltiplicando la prima equazione per 〈m| e la seconda per 〈n|:〈m|Ω|n〉 = ω n 〈m|n〉〈n|Ω|m〉 = ω m 〈n|m〉3 È consuetudine indicare le autofunzioni semplicemente tramite l’autovalore alle qualicorrispondono, scrivendo ad esempio |k〉 al posto di |f k 〉4 qui entra in gioco la richiesta che lo spettro sia discreto: le funzioni dello spettro continuo,non essendo integrabili a quadrato, non possono venire normalizzate nel senso voluto!16