Appunti del corso di Chimica Fisica II - Dipartimento di Chimica e ...

Le soluzioni sono del tipoψ = Ce αx + De −αxOvviamente la soluzione con esponente positivo non è fisicamente accettabile:essa, infatti, va rapidamente all’infinito, ma essendo il suo moduloquadrato una densità di probabilità si avrebbe una probabilità di trovarela particella che diverge all’infinito, fisicamente inaccettabile. Rimane lasoluzione con coefficiente negativo:ψ = De −αx =√ 2m(V −E)limV →+∞ e− x √2mE= e x√ limV →+∞ e− 2mV x = 0e quindi la funzione d’onda è identicamente nulla. Il significato fisico diquesto risultato è che una particella non può superare una barriera infinitadi potenziale!Rimane quindi da determinare la funzione d’onda all’interno della scatola: poichéessa è identicamente nulla fuori dalla scatola, per continuità le sole soluzioniaccettabili saranno quelle che si annullano in x = 0 e in x = L. Imponendoqueste condizioni:ψ(0) = Ae dunque A=0ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k = nπ L , n ∈ NLa costante B si può determinare imponendo che le funzioni siano normalizzate:∫ L0|ψ(x)| 2 dx =∫ L0A 2 sin 2 2πnxL dxA2 L 2Affinché l’integrale faccia 1 è dunque necessario che√2A =Le quindi:√2ψ n (x) =Lsin2πnxLSi noti che, avendo posto√2mEk = = nπ Lnon tutti i valori dell’energia sono ammessi: si ha quindi quantizzazione dell’energia,da cui il pedice n posto alla funzione d’onda, che indica un numeroquantico da cui la funzione dipende.30